(2)P(A)=P(Ax…1-4x) 解,用A表示“任选一名射手为k级”,h=1,2,3,4,B =P(A,)P(12A1)…P(A|A,…-x) 表示“任选一名射手能进入决赛”, P(B)=∑P(A)PB|A X0.9+×0.7+n×0.5+0×0.2 132已知一个母鸡生k个蛋的概率为0-(>0,而 0,645 每一个蛋能孵化成小鸡的概率为P,证明:一个母鸡恰有r个下 134在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们 代(即小鸡)的概率为一 (λp) 的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各 占5%,4%,2%。现在从产品中取一只恰是不合格品,间此 解:用A表示“母鸡生b个蛋”,B表示“母鸡恰好有r不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少? 个下一代”,则 解:用A4表示“仁取一只产品,系甲台机器生产 P(B)=XP(Ak)P(B An A2表示“任取一只产品,系乙台机器生产 A表示“任取一只产品,系丙台机器生产”, ·(1-p) B表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则P(41)=25%,P(A1)=35%,P(A4)=40%,P(BA)=5% !(k-) P(BA)=4%,P(BA4)=2%。由Bye公式得 (2)-…-=P) (-9) P(AB) P(A)P(BA (1p)9 ∑P(A)P(B|A2) 25%×5% (Ap) 25%×5%+35%X4%+40%X2%69 133某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二 P4)P(BlA)_=28 P(41D)它PAFB4)8 级射手8人,三级射手7人,四级射手1人,一、二、三、四级射手 能通过选拔进入决赛的概率分别是。0.0.7、0.5、0.2,录在小 P(41|B)=-P(A)P(B|A)=16 组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率 P(Ai)P(B As) 69
135某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3: 解:用A,表示“朋友乘火车来 2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有 42表示“朋友乘轮船来 台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少? 4表示“朋友乘汽车来” 解:用A41表示“任取一台机床是车床", A4表示朋友乘飞机来 A2表示“任取一台机床是钻床”, B表示“朋友迟到了” A表示“任取一台机床是磨床 则P(A)=0.3,P(4)=0.2,P(4)=0.1,P(A)=0.4, A4表示“任取一台机床是刨述”, P(B A:=+, P(B A,)=3, P(B A,) P(B B裘示“任取一台机床,它需要修理” 由Baye公式得 则P(4)=15,(因9+3+1+1=15,(4)=15 P(A1|B)=-P(A4)P(B4):1 立PA)P(B1A) P(4)=1,P(4)=1,P(B4)=b,因1+2+3+1 1.37证明:若三个事件A、B、C独立,则A∪B、AB及 =7),PBA)=2,PB山)=3b,P(BA=1其中4-B都与C独立。 k是比例常数。由Byes公式得 (1)P((AU B)O)=P(ACU BC) P(AC)+P(BC)-P(ABC) P(A1|b)=2X4)84) =P(A)P(0)+P(B)P(O) ∑P(A)P(B|A) P(A)PB)P(C) [P(A)+P(B) is×*+1×计x+ P(A)P(B)P(C) P(AU B)P(C) (2)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= P(AB)P(C) B)P((A-B))=P((A-AB)C)=P(AC-ABE 136有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的 P(AC)-P(ABC) 概部分别是0.3、0.2、0.1,0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的 P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C) 话,迟到饱概率分别是1、1、1,而乘飞机不会迟到结果他 =[P(A)-P(A)P(B)P() =EP(A)-P(AB)P(C) 是迟到了,试问他是乘火车来的慨率是多少? P(A-B)P(C)
138试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)PO)不能榴 1.41一个人的血型为OA,B、AB型的概率分别为0,46、 0,40、0110.93,现在任意选五个人,求下列事件的概率 出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。 (1)两个人为0型,其它三个人分别为其它三种血型 解:设2={a,a,,,a},P(4})=B,P(} ,P()=P()P》)B,A={,), (2)三个人为O型,两个人为A型; (3)没有一个人为B型 D4,0,49P助￥PQ01第.)从5个任去2020里共(2)可能,在其 1,PABO=P()=1×2×1 P(APBP(C余人中饪选一人为A型,共有3秒可能,余下的2人中任选 但是P(AB)=P4)=1x+1×1=P(AP(B) 一人为B型,共有2种可能,另一人为AB型,因此所要求的概 率等于 139设A1,A2,…,A为第个相互独立的事件,且 P(A)=P,(1≤k≤),求下列事件的概率 X3×2×0.462×0,40×0,11×0.13≈0.0168 (1)个事件全不发生 (2)与(1)类似,所要求的概率等于 (2)%个事件中至少发生一件 (3)个事件中恰好发生一件。 10.46×0.403≈0.1557 解(①)2()=A2(-m) (3)所求概率等于(1-0.03)≈0.8587 2小1-门)-1-立(-m) 1.42没有两门高射炮,每一门击中飞机的概率都是0.6, 求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少?又若有一架敌 机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门 高射炮。 Peli(1-Pil 解:用A表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机’, h=1,2,…,B表示“山中飞机”。则P(A2)=0.6,h=1,2, 140已知事件AB相互独立且互不相容,求min(P(A), P(B))(注:min(a、9)表示x与y中小的一个数)。 ()P(AU42)=1-P(14)=1-P1)PA) =1-0.42=0,84 解:一方面R(A),BB)≥0,另一方面P《A)P(B) P(AB)=0即B(A),P(B)中至少有一个等于0,所以 (2)X04)-1-P()=1-订P( min(P(A), P(B))=0 1-0.4>0,9 67
2)R=P(AU C)=l-P(ABC) 0.4“<1-0,99=0,01a 526,取=6。至少需要 A)P(B)P(C) 6门高射炮同时发射一发炮弹,可保证9%的概率击中飞钒 =1-(1-P4)(1-Pn)(1-P) 1.43求下列系统的可靠性。其中框图中的字母代表元件 (3)R= P(A, B, U A, B2U A, B,) 的种类,字母相同而足标不同的都是同一类元件,只是装配的位 1-P(A, B, A, B2 AbBs 置不相同,又A、B、O、D类元件正常工作的概率为P,PB =1-P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =1-[1-P(AB2)]1-P(A2B2)][1-P(A4B3)] -4[a (4)R= PLD,(AUBUC)D23 P(D1)P(山BO)P(D2 pC1-(1-p4)(1-a)(1-P) (由(1)) 1.44做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为, 求在成功次之前已经失败了m次的概率 解:;用⊥表示“在成功次之前失败了m次” B表示“在前n+m-1次试验中失败了m次” A2 C表示“第+m次试验成功” 则 P(A)=P(BC) P(B)P( 4(1-p)" n+m-1 () 1.45某数学家有两盒火柴,每盒都有第根火柴,每次用火 柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另 盒中还有r根火柴(I≤≤)的概率。 解;(1)可靠性B=P(AB)=P(A)P(B)P()=P4PB 解:用A4表示“甲盒中尚余讠根火柴
B表示“乙盒中尚余j根火柴” C,D分别表示“第2n-T次在甲盒取",第2-次在乙 由于 ABC表示取了2m-擘次火柴,且第2-次是从甲盒 2k\{2r-2k 中取的,即在前2a-7-1次在甲盒中取了-1根,其余在乙 盒中取。所以。 1 P(A BC)= (2)(22·(24)_(20-2 -h)!(n-b 2/2 (2n)! n! 2LT: (n-kl (注:应用上题绪果,可直接得出答案。) 由对称性知F(AB0)=P(AB,D),所要求的概率等于 P(A,B, CU A, B,D)=2P(A, B, C) 所以 146一个质点从平面上某点开始等可能地向上、下左、 P(0)=4 右四个方向游动,每次游动的距离为1,求经过2n次游动后质 点回到出发点的概率。 解:向任一方向移动一步的概率等于 用A表示“在2m次游动中向上游动了k次”,k≤n B表示“在2角次游动中向左游动了j次”,j≤n C表示游动2n次回到出发点 则A1BC表示“在2m次游动中向上,下各游动h次,向左、右 各游动一素次” R(0)=∑PAB4-O) D/1\n-k 61