A,A表示边a,b,,二边ab,a,be与平行线相交,则 P(4)=1。所以PA)=3 P(A)=P( AasU Feel Ab)。显然P(A)=P(Ad)+P(A), (2)设线敦AB的长为1 P(4)=HA4)+P(A2),P(A)=P(A)+P(A)。所以 x1,Am2,A能构成三角形,当且仅当x1+x2>,+ a,x2+x2>x,即点P落入六面体 ODEBA之内,故所求 P(A,=[P(A)+ P(A)+P(A] 概率等于 11 呵体 ODEBA的棒 1-3×-X 积 此方体 ABCDETUH的体积 (这里用到课文p.23--24例1,12的结果。) 1.19已知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事 件是否一定是不可能事件?试举例说明之。 解:概率为零的事件不必是不可能事件。例如向长度为1 的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等 于零,但A不是不可能事件。 1.20甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮 流摸取一球,甲先取,乙后取每次取后都不放回,直到两人中有 一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间,并求 XI 甲或乙先取到白球的概率 解;2表白,2表黑白,表黑黑自,…+1表黑…黑白, 则祥本空间={,,…,},并且 18在平上画有间隔为d的等距平行线,向平面任意 地投掷一个三角形,该三角形的边长为a、b、C(均小于d),求 P({o3})=a+5 乏角形与平行线相交的概率 解:分别用A,A2,3表示三角形的一个顶点与平行线 P(03))=a+6 a+b-1' 相合,一条边与平行线相合两条边与平行线相交,显然F(A1)= P(2)=0所求率等于PA3)。分别用A,A,A,Aa P({a4)=a+ba+b-1·a+b
1.23对托意的机寄件、B,C,证明 P({}) P(AB)+P(和C)-P、BC)-PA) b-(-2) 解:P(A)≥PLA(BUC)=P( ABU AC) a+b-(2-2)'a+b-(-1) P(AB)+P(AC-P(ABC) a+b)(a+b-1) 124在某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙。在这个城市 甲取胜的概率等于 的居民中,订甲报的有45%,订乙报府35%,订内报的有3% P({o})+P({})+P({})+ 同时订!、乙两报的有10%,同时订甲、两报的有8%,同时订 乙取胜的概率等于 乙、丙两的有5,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比; P(2})+P({4})+P({})+… (1)只订甲报的; 121设事件A、B及A{UB的概率分别为P、q及”,求 (2)只订甲、乙两报的; P(AB), P(AB), P(AB), P(AB) (3)只订一秒报纸的 解:由B(A∪B)=P(A)+f(B)-P(AB)得 (4)正好订两种报纸的; P(AB)=P(A)+P(B)-P(AU B)=p+g-r (5)至少订一种报纸的 P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) (6)不订任何报纸的。 =P-(P+-r)=r-q 解:事件A表示订叶报,事件B表示订乙报,事件C表示 P(AB)=r-p 订丙报。 P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=l-r (1)P(ABC)=P(A-(ABU AC) 1.22设A1、A2为两个随机事件,证明: =P(A)-[(AB)+P(A0)-P(ABC) (1)P(A14)=1-P(A1)-P(A2)+P(AA2) =45%-[10%+8%-3%1=30% (2)1-(A1)-P(1)≤P(A1A1)≤P(A1UA2) (2)P(ABC)=P(AB-ABC)=P( AB)-P(ABC) ≤P(A1)+P(A1) =10%-3%=7% 解:(1)P(A1A)=P(A1UA)=1-P(1UA) (3)先求 =1-[P1)+P(A)-P(AA2)1 P(BAC)=P(B)-[P(AB)+P(BC)-P(ABC)1 =1-P(A)-P(42)+P(A,2) 2)由(1)和P(互12)≥0得第一个不等式,由概率的单调 =35%-[10%+5%-3%=23% 性和半可加性分别得第二、三个不等式 P(CAB)=P(C)-LP(A0)+P(B0)-P(ABC)] =30%-[8%+5%-3%]=20
所以 P(ABCU B4CUCAB=PAB)+PB+POB 1-∑(1-P(A)-∑(1-P(AU4) 30%÷23%+20%=73% (A)P(ABC U ACBU BCA +…+(-1)"-1{1- P(ABC)+P(ACB)+P(BCA) +()-…+(-1)"-+∑P(A) = P(AB)-P(ABC)+ P(AC)-P(ABC ÷P(BC)-P《AB -∑P(A1UA)+…-(-1)-PA 10%+8%+5%-3×3%=14% (5)P(AUBUC)=PiA)+P(B)+PC)-P(AB) =S(A)-∑P(A{UA) 1≤【≤:≤清 P(AC)-P(BC)+ P(ABC) 45%+35%+30%-10% A g (6)P(ABO)=1-P( AUBUC)=1-90%=10% 这是因为1-(7)+(7)+…+(-1y=(-1y=0 25设A,A,…,A,为八个随机事件,证明 1.26某班有作个学生参加口试,考签共N张,每人抽到的 (1)P(∩4)=∑P(A)-NP(A4)+ 考签用后即放回,在考试结束后,向至少有一张考签没有被抽到 的概率是多少 +(-1)"P(A142…d) (2)P('4}=∑P(A)-P(AJA 解;用A4表示“第张考签没有被抽到”,=1,2,…,N +∑P(A∪A,∪4)- 要求F!A),由上题1)的结果,先求 解:(1)用数学归纳法。略。 P(A4)= (2)由(1)得 而4)=1=P1点2) 所以 (-1yP(∩ P(A,)
8P4)=-(N/N-21 :用A表示“第袋的登记表及照片都装对’,剿 (1)P2(m)=P(A… 1-P A 所以 N P{UA)=x(-1) =1-xP(A)-∑P(A4) 127从沿阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包 4…+(-1)”P(∩ 含主对角线元素的概宰为多少? 解:n阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表 (-1+1/a)(a-h) 为t1424;…an当且仅当1,2,…,第的排列(1,2,…,)中存 在k使=b时这一项包含主对角线元素。用A表示事件“排 少(-1)下·(-h ) 列中2=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。 (-1) P(A4)= 1≤≤ (2)指定的r袋中登记表和照片装对而其它的一r袋都 P4)=(=2儿 1≤<j≤ 未装对的概率等于 山题1.25的(1)得 (-)!(-9)!1 -S(-1) (n--k) 息4=(-1)-()(m=i 其中第一个因子表示指定的袋中登记表装对的概率,第二个 128有个人各填写一份登记表并交一张照片,现在把因子表示指定的袋中照片装对的概率,第三个因子表示其它 登记表及照片任意地装入个有姓名的挡案袋中(每袋只允许-f袋中没有一袋登记表和照片都装对的概率(用(1))。因此 装入一分登记表及一张照片),求 (1)没有一袋的登记表及照片都装对的概率P(m); P(n)=/(n (2)恰有袋(1≤矿<)的登记裘及照片都装对的概率 (-1) (n--h)! P(n),并证明有 lim Po(n)=1 imP,(n)0(1r≤m) rl a 因为
x(-1)+(2=k 们=2-(鸦-1)t(1-2)!(男 130设M件产品中有m件是不合格品,从中取两件 (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件 >l!-(-1) 也是不合格品的概率 所蚪 (2)在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件是 P() (-h)!s!-(m-1 不合格品的概率 又因 解:(1)设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品 P:)-2(-1) =S(-1)+=)-<1B表示“所取产品都是不合格品’,则 M (是为当增加时是藏少份,所以 P(BlA)=P(AB)_P(B) )P(A)T/ m./ my M-ml/- 因此imP(n)=1 作→c (2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”,D表示所 显0≤P()=m2(-1)-)(m=,取产品中有一件合格品,一件不合格品。则 mC)=0所以mnP()=0 P(DC)= P(CD)P(D) 为a P(C) P(C) 1.29已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求 m/M-m\∥M 至少有一个躬孩的概率(假设一个小孩是男孩或女孩是等可能 TmVM-m(M-mM=万+m 的) 解:用b,9分别表示男孩和女孩。则样本空间是1.31n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依 g={(,,,b,,9),(b,,),,b,b),(b,9,9),(9,b,9),吹襪彩,求: (9,9,),(9,9,9)}其中样本点依年龄大小的性别排列。4表示(1)已知前k-1(k≤n)个人都没有摸到,求第k个人摸到 “有女孩”,B表示“有男接,则A={(b,b,9),(b,,b),(9,b,),概率; (b,,9),(g,b,q),(,9,b),(9,,g)},AB={(b,b,g),(b,,b) (2)第b(k≤m)个人摸到的概率 (9,b,6),(b,,),(、b,9),(9,,b)}所以 解:设A表示“第个人摸到”,=1,2,…, P(AB)6 78 6 P(B14)“P(A)787 (1)P(A…4)=-(k-1)=k+了