王 生设总体的分布类型已知但含有多个未知参数 生4…4,这时总体的概率函数为c…)设 a“x)为总体x的一个样本观察值若似然函数 L(3,2…0)=L(x,x2…x;,B2…0)=∏f(x,B2…O) i=1 将其取对数,然后对…求偏导数得 ohL(6,202,…,k) 0 06 aIn L(0,, 022 ,K=0 06 该方程组的解M=区即为的极 大似然估计值. 上或
设总体的分布类型已知,但含有多个未知参数 k , , , 1 2 ，这时总体的概率函数为 ( ; , , , ) 1 2 k f x .设 ( , , , ) 1 2 n x x x 为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数 = = = n i k k k i k L L x x x f x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ,, ) ( , ,, ; , ,, ) ( ; , ,, ) 将其取对数,然后对 k , , , 1 2 求偏导数,得 = = 0 ln ( , , , ) 0 ln ( , , , ) 1 2 1 1 2 k k k L L 该方程组的解 x x x i k i i n ( , , , ), 1,2, , ˆ ˆ = 1 2 = ,即 为 i 的 极 大似然估计值
王 求极大似然估计的一般步骤归纳如下: (1)求似然函数L(O); A(2)求出血L(O)及方程ah0)=0; (3)解上述方程得到极大似然估计值 =6( 5n) 王(4)解上述方程得到极大似然估计量 =6(X12X2…,n) 上或
求极大似然估计的一般步骤归纳如下： （1）求似然函数L( )； （2）求出ln L()及方程 ln ( ) = 0 L d d ； （3）解上述方程得到极大似然估计值 ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 n = x x x . （4）解上述方程得到极大似然估计量 ( , , , ) ˆ ˆ = X1 X2 Xn
例:设随机变量X服从泊松分布: PiX=k e k=0,1,2, k! 其中2>0是一未知参数求的极大似然估计 平解设(x1x2,,x是样本(X1x2,X的一组观测值 上于是似然函数 "r,2 L()=L(x;x12x2,xn)= n e X ∏ 两边取对数得 hL(x)=-n+h∑x∑h(x) 上
, 0,1,2,... ! { = } = = − k k e P X k k ( ) ( ; , ,..., ) 1 2 n L = L x x x = = = − + − n i n i i i L n x x 1 1 ln () ln ln( !) • 例:设随机变量X服从泊松分布: 其中λ>0是一未知参数,求λ的极大似然估计. 解 设(x1 ,x2 ,…,xn )是样本 (X1 ,X2 ,…,Xn )的一组观测值. 于是似然函数 两边取对数得 ) ! ( 1 − = = e x n i i xi n n i i x e x n i i − = = = 1 1
令 dn L(n) n+ lS x =0 入 c解这一方程得 入=x且 hn L(n <0 c入 =x 从而得出λ的极大似然估计量为=X 上或
0 ln ( ) 1 1 = = − + = n i i n x d d L 令 0 ~ ln ( ) ~ 2 2 = =x d d L x 且 X ~ 从而得出λ的极大似然估计量为 = 解这一方程得
例:设总体Ⅹ服从参数为λ的指数分布,其中入未 王知,(xx“x为从总体抽取一个样本,(x…) 为其样本观测值,试求参数A的极大似然估计值和 估计量. 解总体X服从参数为的指数分布,则有 2x he x>o f(; x) 0 x<0 所以似然函数为L(4)=2e =1 上或
例：设总体 X 服从参数为λ的指数分布，其中λ未 知，( , , , ) X1 X2 Xn 为从总体抽取一个样本，( , , , ) 1 2 n x x x 为其样本观测值，试求参数λ的极大似然估计值和 估计量. 解 总体X服从参数为λ的指数分布，则有 = − 0 0 0 ( ; ) x e x f x x 所以似然函数为 = = − n i i x n L e 1 ( )