E(X)=v(1,62,…,6)=A1 设 E(X)=v2(202,…,k)=A E(X)=v(,02,0) A得到含有未知参数(01))的个方程解这k个 联立方程组就可以得到(61,)的一组解 01=01(X12X2Xn) 2(X1,X2,Xn) =6k(X1,X2,…,Xxn 用上面的解来估计参数θ就是矩法估计. 上或
得到含有未知参数(θ1 ,…,θk )的k个方程.解这k个 联立方程组就可以得到(θ1 ,…,θk )的一组解: = = = ( , ,..., ) ˆ ˆ ................................... ( , ,..., ) ˆ ˆ ( , ,..., ) ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n X X X X X X X X X 用上面的解来估计参数θi就是矩法估计. = = = = = = k k k k k k E X A E X A E X A ( ) ( , ,..., ) ............................... ( ) ( , ,..., ) ( ) ( , ,..., ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 设
例:设总体ⅹ服从泊松分布x(4),参数未知, (X,X2…Xn)是来自总体的一个样本,求参数的矩 估计量 解总体X的期望为E(X)= 从而得到方程21x 王所以的矩估计量为 = ∑ X=X 上或
例: 设总体 X 服从泊松分布 () ，参数λ未知， ( , , , ) X1 X2 Xn 是来自总体的一个样本，求参数λ的矩 估计量. 解 总体X的期望为 E(X ) = 从而得到方程 = = n i Xi n 1 1 所以λ的矩估计量为 X X n n i = i = =1 1 ˆ
王例:设总体X服从参数为的指数分布,其中参 王数未知,(xx“x)是来自总体的一个样本, 求参数λ的矩估计量 x>0 解其概率密度函数为f(x24)=0x0 总体X的期望为E(x)=xeok= 从而得到方程7=n2 所以λ的矩估计量为211 X X 上或
例: 设总体 X 服从参数为λ的指数分布，其中参 数λ未知，( , , , ) X1 X2 Xn 是来自总体的一个样本， 求参数λ的矩估计量. = − 0, 0 , 0 ( , ) x e x f x x 解 其概率密度函数为 总体X的期望为 1 ( ) 0 = = + − E X x e dx x 从而得到方程 = = n i Xi n 1 1 1 X X n i i 1 1 ˆ 1 = = = 所以 λ的矩估计量为
例:设总体Ⅹ的均值μ和方差a2都存在,且σ2>0, 但和均未知,又设(xx)是米自总体的 一个样本,求μ和的矩估计量 E(X)= 解由于 E(x2)=DX)+(E(x)2=a2+n2 故令 X=4 ∑X2=a2+ n 解得μ和σ2的矩佔计量分别为 u=X ∑X-X2=∑(X1-X) 上或
例: 设总体 X 的均值μ和方差 2 都存在，且 0 2 ， 但μ和 2 均未知，又设( , , , ) X1 X2 Xn 是来自总体的 一个样本，求μ和 2 的矩估计量. 解 由于 ( ) = + = + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E X D X E X E X 故令 = + = = 2 2 1 1 2 n i Xi n X 解得μ和 2 的矩估计量分别为 = − = − = = = n i i n i i X X n X X n X 1 2 2 1 2 2 ( ) 1 1 ˆ ˆ
例:设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 参数为的泊松分布,4未知,有以下样本值; 试估计参数4(用矩法) 着火的次数k 0123456 上发次着火天数n75%05422621∑=20 上解EX=2A X=X 1 王令X=2 黑则=x=(0×75+1×90+…+6×1)=12 250 所以x=,估计值=12 上或
例 : 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 试估计参数 （用矩法）。 参数为 的泊松分布， 未知，有以下样本值； 75 90 54 22 6 2 1 = 250 0 1 2 3 4 5 6 nk k k 发生 次着火天数 着火的次数 = = = = n i Xi X n EX A 1 1 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22 250 1 ˆ , = = + + + = = x X 则 令 所以 X = , 估计值 ˆ = 1.22。 解