§12.1均匀分布的数学期望 定理设连续型随机变量Ⅹ的密度函数为 a<xb P(x)=b-a a<b 其他 则E(X)=(a+ b)2. 证明:E(X)=x(xx=x-tr a 1x2 a+ b-a2|2 a 上或
§1.2.1 均匀分布的数学期望 a b a x b p x b a = − 0, 其他 , , 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 1 ( ) ( ) 2 a b x b a dx b a E X x p x dx x b a b a = + − = − = = + − • 定理:设连续型随机变量X的密度函数为 则E(X)=(a+b)/2. • 证明:
王912指数分布的数学期望 c·定理设连续型随机变量X的密度函数为 e-2 x>0 p(x)= 1>0 x<0 则随机变量X的数学期望为E(X1 22e1 + t=2x te +e dt 0 0 上或
§1.2.2 指数分布的数学期望 0 0, 0, , 0, ( ) = − x e x p x + − + − = = 0 E(x) x p(x)dx x e dx x • 定理:设连续型随机变量X的密度函数为 则随机变量X的数学期望为E(X)=1/λ. 证明 + − = 0 1 t x te dt t 1 ( ) 1 0 0 = = − + + − + − t e e dt t t
王12.3正态分布的数学期望 定理:设连续型随机变量X~N(2),则E(Xu +00 证明E(X)= √2<xexp{-n-2(x-)ar 20 2 x-u=t (+)ex{2t 2丌o 20 t (texp{。2 dt+ exp 20 lt √2no 20 2丌 exp exp -ds=u 2 丌O 2 2丌 2 上或
§1.2.3 正态分布的数学期望 + − E X = x − (x − ) }dx 2 1 exp{ 2 1 ( ) 2 2 • 定理:设连续型随机变量X~N(μ,σ2 ) ,则 E(X)=μ. 证明 dt t x t t } 2 ( ) exp{ 2 1 2 2 − = + − + − dt t dt t t } 2 exp{ 2 } 2 ( exp{ 2 1 2 2 2 2 = − + − + − + − dt t } 2 exp{ 2 2 2 = − + − = − = + − ds s s t } 2 exp{ 2 2
庄92随机变量函数的数学期望 生921随机变量函数的数学期望 ·定理:设Y是随机变量X的函数Y=Xf是连续函数) ·(1)设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=x}=pk,k=1,2, 若∑f(x)p4<+∞0 E(Y)=E[f(=∑f(x)p 王.②)设连续型随机变X的密度函数为若 f(x)|p(x)dx<+∞ 则有 E(r)=EU(X)=f()p(x)dx 上或
§2 随机变量函数的数学期望 • 定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数). = + 1 | ( ) | k k pk f x = = = 1 ( ) [ ( )] ( ) k k pk E Y E f X f x + − | f (x)| p(x)dx + + − E(Y) = E[ f (X)] = f (x) p(x)dx • (1)设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2,... • (2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 若 则 则有 §2.1 随机变量函数的数学期望
·定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=(XY)(f是连 续函数) (1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为 P(X=x,Y=y}=P1,j=12 上若∑∑/x,)px+ E(Z)=Ef(X,Y=∑∑f(x,y) 中·2设二维随机向量(XY)的分布密度为px若 +0oP+ f(,yip(x, ydxdy<+oo S u E(Z)=EL(, Y)]=f(x,D)p(x,drdy 上或
P{X = x ,Y = y } = p i, j = 1,2,... i j i j ij + j i | f (xi , y j ) | p = = j i i j pi j E(Z) E[ f (X ,Y)] f (x , y ) + − + − | f (x, y)| p(x, y)dxdy + + − + − E(Z) = E[ f (X,Y)] = f (x, y) p(x, y)dxdy • 定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=f(X,Y) (f是连 续函数). • (1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为 • (2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为p(x,y),若 若 则 则