§11.3泊松分布数学期望 定理:设随机变量X服从泊松分布,即 ST PX=k) N、f e k=0.12..:>0 k! 则随机变量X的数学期望E(X)=λ ·证明 E(X)=∑ke=e2e= 石(k 上或
§1.1.3 泊松分布数学期望 • 证明: , 0,1,2,...; 0 ! { = }= = − e k k P X k k = = − = = − = − − − = e e k e e k E X k k k k k 1 1 0 ! ( 1)! ( ) • 定理:设随机变量X服从泊松分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=λ
王§12连续型随机变量的数学期望 ·我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(Ⅹ)=∑xP k 王自然要间连续型随机变量的数学期望是什么 设叭x)是连续型随机变量X的密度函数取分点 x<x1<.<X n+1 则随机变量x落在△x(x1x种)中的概率为 △x相当小时 PX∈△x}=p(x)atx≈px)x,=P{Y=x} 与X近似的随机变量Y的数学期望为∑xD(x)A 上由微积分知识自然想到X的数学期望为〔xxk 王页下
§1.2 连续型随机变量的数学期望 •我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(X)= k k xk p •自然要问连续型随机变量的数学期望是什么? •设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点 x0<x1<…<xn+1 则随机变量X落在△xi=(xi , xi+1)中的概率为 { } ( ) ( ) { } 1 i i i x x x i P X x p x dx p x x P Y x i i i = = = + 相当小时 •与X近似的随机变量Y的数学期望为 = n i i i i x p x x 0 ( ) 由微积分知识自然想到X的数学期望为 − xp(x)dx
定义:设连续型随机变量Ⅹ的密度函数为p(x),若 Ix p(x)dx<+oo 则称 xp(x)dx 为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X 中·如果 x p(x)dx=+oo 则称连续型随机变量X的数学期望不存在 上或
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). + − | x | p(x)dx + + − xp(x)dx • 定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则称 • 如果 + − | x | p(x)dx = + 则称连续型随机变量X的数学期望不存在
王·例设随机变量x的概率密度函数为 2x 0≤x≤1 plx 其他 试求X的数学期望 牛解E(x)=x(x)=[x,2xd 2 2x dx==x 3103 上或
= 0, 其他 2 , 0 1 ( ) x x p x + − E(X) = x p(x)dx • 例:设随机变量X的概率密度函数为 试求X的数学期望 解 3 2 3 2 2 1 0 3 1 0 2 = = = x dx x = 1 0 x 2xdx
例:若随机变量X的概率密度函数为 p(x)= 0<x<+0 丌1+x2 问随机变量X的数学期望E(X)是否存在 解 ∫1 +0 x x p(x)dx=Ix dx x 丌1+x 1+x 2d(1x2)=-h(1+x2)b= 1+x 王所以X)不存在但 Txnlr. 1 o x, dx=0 ∞1+x 上或
− + + = x x p x , 1 1 1 ( ) 2 dx x x dx x x p x dx x + + − + − + = + = 0 2 2 1 2 1 1 1 | | ( ) | | 0 1 1 ( ) 2 = + = + − + − dx x x x p x dx • 例:若随机变量X的概率密度函数为 问随机变量X的数学期望E(X)是否存在. 解 所以E(X)不存在.但 + = + = + = + + 0 2 2 0 2 ln(1 )| 1 (1 ) 1 1 1 d x x x