概率论与数理统计 班级 学号 姓名 第一章随机事件与概率 习题1.1P9 习题1.2P28 2.在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表 3.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率. 示： A=”至少出现一个正面”， B=”最多出现一个正面”， C=”恰好出现一个正面”， 11.口袋中有10个球，分别标有号码1至10，现从中 D=”出现三面相同”. 不返回地任取3个，记下取出球的号码，试求： (1)最小号码为5的概率： (2)最大号码为5的概率. 5.设X为随机变量，其样本空间为 12.掷三颗骰子，求以下事件的概率： 2={0≤X≤2)，记事件A={0.5<X≤1}， (1)所得的最大点数小于等于5； (2)所得的最大点数等于5. B={0.25≤X<1.5},写出下列各事件： (1)AB,(2)AUB,(3)AB,(4)AUB 15.5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假如每个 人以相同的概率走出任一层（从第二层开始），求此5 个人在不同楼层走出的概率 6.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A={恰有一 弹击中飞机}，B={至少有一弹击中飞机}，C={两面三 刀弹都击中飞机}，D={两面三刀弹都没击中飞机}. 20.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球 又设随机变量X为击中飞机的次数，试用X表示事 的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少？ 件A,B,C,D中哪些是互不相容的事件？哪些是对立 的事件？ 22.将n个完全相同的球（这时也称球是不可辨的） 随机地放入N个盒子中，试求： (1)某个指定的盒子中恰好有k个球的概率： 9.请叙述下列事件的对立事件： (2)恰好有m个空盒的概率； (1)A=”掷两枚硬币，皆为正面”， (3)某指定的m个盒子中恰好有j个球的概率. (2)B=”射击三次，皆命中目标”， (3)C=”加工四个零件，至少有一个合格品
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 1 第一章 随机事件与概率 习题 1.1 P9 2. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表 示: A=”至少出现一个正面”; B=”最多出现一个正面”; C=”恰好出现一个正面”; D=”出现三面相同”. 5. 设 X 为 随 机 变 量 , 其 样 本 空 间 为 {0 X 2}, 记 事 件 A {0.5 X 1} , B {0.25 X 1.5} ,写出下列各事件： （1） AB ，（2） A B ，（3） AB ，（4） A B . 6. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设 A={恰有一 弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两面三 刀弹都击中飞机},D={两面三刀弹都没击中飞机}. 又设随机变量 X 为击中飞机的次数,试用 X 表示事 件 A,B,C,D 中哪些是互不相容的事件?哪些是对立 的事件? 9. 请叙述下列事件的对立事件: (1) A=”掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=”射击三次,皆命中目标”; (3) C=”加工四个零件,至少有一个合格品”. 习题 1.2 P28 3. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率. 11. 口袋中有 10 个球,分别标有号码 1 至 10,现从中 不返回地任取 3 个,记下取出球的号码,试求: (1) 最小号码为 5 的概率; (2) 最大号码为 5 的概率. 12. 掷三颗骰子，求以下事件的概率： (1)所得的最大点数小于等于 5; (2)所得的最大点数等于 5. 15. 5 个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个 人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此 5 个人在不同楼层走出的概率. 20. 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去,求杯子中球 的最大个数分别为 1,2,3 的概率各为多少? 22. 将 n 个完全相同的球(这时也称球是不可辨的) 随机地放入 N 个盒子中,试求: (1) 某个指定的盒子中恰好有 k 个球的概率; (2) 恰好有 m 个空盒的概率; (3) 某指定的 m 个盒子中恰好有 j 个球的概率
概率论与数理统计 班级 学号 姓名 23.在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件”两数之 8.从数字1,2，…，9中可重复地任取n次，求n次所 和小于6/5”的概率. 取数字的乘积能被10整除的概率. 10.甲掷硬币n+1次，乙掷n次.求甲掷出的正面数 24.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船 比乙掷出的正面数多的概率. 的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的 如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是 两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出 的概率是多少？ 14.某班n个战士各有1支归个人保管使用的枪， 这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中， 每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的 枪的概率. 27.设一个质点落在xoy平面上由x轴y轴及直线 x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点 处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的 概率与这区域的面积成正比，试求此质点落在直线 x=1/3的左边的概率是多少？ 18. 设P(A)=P(B)=1/2,试证 ,P(AB)=P(A∩B) 习题1.3P36 4.从0,1,2，…，9等十个数字中任意选出三个不同的 数字，试求下列事件的概率： (1)A={三个数字中不含0和5}； (2)A2={三个数字中不含0或5； 19.对任意的事件A,B,C,证明： (1)P(AB)+P(AC)-P(BC)<P(A); (3)A={三个数字中含0但不含5}. (2) P(AB)+P(AC)+P(BC) ≥P(A)+P(B)+P(C)-1 2
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 2 23. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件”两数之 和小于 6/5”的概率. 24. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船 的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是 两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出 的概率是多少? 27. 设一个质点落在 xoy 平面上由 x 轴 y 轴及直线 x+y=1 所围成的三角形内,而落在这三角形内各点 处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的 概率与这区域的面积成正比,试求此质点落在直线 x=1/3 的左边的概率是多少? 习题 1.3 P36 4. 从 0,1,2,…,9 等十个数字中任意选出三个不同的 数字,试求下列事件的概率: (1) { 0 5}; A1 三个数字中不含 和 (2) { 0 5}; A2 三个数字中不含 或 (3) { 0 5}. A3 三个数字中含 但不含 8. 从数字 1,2,…,9 中可重复地任取 n 次, 求 n 次所 取数字的乘积能被 10 整除的概率. 10. 甲掷硬币n+1次, 乙掷n次. 求甲掷出的正面数 比乙掷出的正面数多的概率. 14. 某班 n 个战士各有 1 支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 每人随机地取了 1 支枪, 求至少有 1 人拿到自己的 枪的概率. 18. 设 P(A) P(B) 1/ 2 , 试 证 , P(AB) P(A B) 19. 对任意的事件 A, B, C, 证明: (1) P(AB) P(AC) P(BC) P(A); (2) P(AB) P(AC) P(BC) P(A) P(B) P(C) 1
概率论与数理统计 班级 学号 姓名 求P(B|AUB) 22.证明： (1)P(AB)P(A)+P(B)-1; (2) P(A1A2…An)≥ 13.甲口袋有a个黑球，b个白球，乙口袋有n个黑 球，m个白球 P(A)+P(A2)+…+P(An)-(n-1) (1)从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙 口袋任取1个球，试求最后从乙口袋取出的是黑 球的概率 (2)从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙 口袋任取1个球，试求最后从乙口袋取出的是 黑球的概率 习题1.4P48 4.设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活 到15岁的概率为0.4.问现年为10岁的这种动物能 活到15岁的概率是多少？ 16.钥匙掉了，掉在宿舍里，掉在教室里，掉在路上 的概率分别是40%，35%和25%，而掉在上述三处地 方被找到的概率分别是0.8,0.3和0.1，试求找到钥 匙的概率 6.设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件， 己知两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合 格品的概率 18.有两箱零件，第一箱装50件，其中10件是一等 品，第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱 中随意挑出一箱，然而从该箱中先后任取两个零件， 9.己知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5, 试求：
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 3 22. 证明: (1) P(AB) P(A) P(B) 1; (2) P(A1A2 An ) ( ) ( ) ( ) ( 1) P A1 P A2 P An n 习题 1.4 P48 4. 设某种动物由出生活到 10 岁的概率为 0.8, 而活 到 15 岁的概率为 0.4. 问现年为 10 岁的这种动物能 活到 15 岁的概率是多少? 6. 设 n 件产品中有 m 件不合格品, 从中任取两件, 已知两件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合 格品的概率 .9. 已 知 P(A) 0.3, P(B) 0.4, P(AB) 0.5 , 求 P(B | A B) 13. 甲口袋有 a 个黑球,b 个白球, 乙口袋有 n 个黑 球,m 个白球. (1) 从甲口袋任取 1 个球放入乙口袋, 然后再从乙 口袋任取 1 个球,试求最后从乙口袋取出的是黑 球的概率. (2) 从甲口袋任取 2 个球放入乙口袋, 然后再从乙 口袋任取 1 个球, 试求最后从乙口袋取出的是 黑球的概率. 16. 钥匙掉了, 掉在宿舍里,掉在教室里,掉在路上 的概率分别是 40%,35%和 25%,而掉在上述三处地 方被找到的概率分别是 0.8,0.3 和 0.1, 试求找到钥 匙的概率. 18. 有两箱零件, 第一箱装 50件, 其中 10 件是一等 品; 第二箱装 30 件, 其中18件是一等品, 现从两箱 中随意挑出一箱,然而从该箱中先后任取两个零件, 试求:
概率论与数理统计 班级 学号 姓名 (1)第一次取出的零件是一等品的概率； (2)在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取 出的零件仍然是一等品的概率. 31.设P(A)=p,P(B)=1-6,证明： ≤P48)sPe 1-e 19.学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果 他不知道总是的正确答案时，就作随机猜测.现从 卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实 知道正确答案的概率. (1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是1/2. (2)学生知道正确答案的概率是0.2. 习题1.5P55 3.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率 分别为0.6和0.7，现己知目标被击中，求它是甲射中 的概率. 27.设PA)P0,试i证P(B1A)≥1-PB P(A) 5.在一小时内甲，乙，丙三台机床需维修的概率分别 是0.9,0.8和0.85，求一小时内 (1)没有一台机床需要维修的概率； (2)至少有一台机床不需要维修的概率； (3)至多只有一台机床需要维修的概率 28.若事件A与B互不相容，且P(B)≠0，证明： P(AB)=- P(A) 1-P(B)
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 4 (1) 第一次取出的零件是一等品的概率; (2) 在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取 出的零件仍然是一等品的概率. 19. 学生在做一道有 4 个选项的单项选择题时,如果 他不知道总是的正确答案时,就作随机猜测. 现从 卷面上看题是答对了, 试在以下情况下求学生确实 知道正确答案的概率. (1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是 1/2. (2) 学生知道正确答案的概率是 0.2. 27. 设 P(A)>0, 试证 ( ) ( ) ( | ) 1 P A P B P B A 28. 若事件 A 与 B 互不相容, 且 P(B) 0 , 证明: 1 ( ) ( ) ( | ) P B P A P A B 31. 设 P(A) p, P(B) 1 , 证明: 1 ( | ) 1 p P A B p 习题 1.5 P55 3. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率 分别为 0.6 和 0.7,现已知目标被击中,求它是甲射中 的概率. 5. 在一小时内甲,乙,丙三台机床需维修的概率分别 是 0.9,0.8 和 0.85,求一小时内 (1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率
概率论与数理统计 班级 学号 姓名 6.设A1,A2,A相互独立，且P(A,)=1/3,I=1,2,3 试求A1,A2,A中 (1)至少出现一个的概率； 22.设A,B,C三事件相互独立，试证A-B与C独立. (2)恰好出现一个的概率； (3)最多出现一个的概率. 23.设0<P(B)<1,试证事件A与B独立的充要条件 是P(AB)=P(A|B) 8.假设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,在以下情况 下求P(B): 第二章随机变量及其分布 (1)A,B不相容； 习题2.1P73 (2)A,B独立； 2.一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点 (3)ACB. 数 (1)试求X的分布列； (2)写出X的分布函数，并作图 14.每次射击命中率为02，试求：射击多少次才能 使至少击中一次的概率不小于0.9？
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 5 6. 设 1 2 3 A , A , A 相互独立,且 ( ) 1/ 3 P Ai ,I=1,2,3. 试求 1 2 3 A , A , A 中 (1) 至少出现一个的概率; (2) 恰好出现一个的概率; (3) 最多出现一个的概率. 8. 假设 P(A) 0.4, P(A B) 0.7 , 在以下情况 下求 P(B): (1) A, B 不相容; (2) A, B 独立; (3) A B . 14. 每次射击命中率为 0.2, 试求:射击多少次才能 使至少击中一次的概率不小于 0.9? 22. 设 A,B,C 三事件相互独立, 试证 A-B 与 C 独立. 23. 设 0<P(B)<1, 试证事件 A 与 B 独立的充要条件 是 P(A | B) P(A | B) 第二章 随机变量及其分布 习题 2.1 P73 2. 一颗骰子抛两次,以 X 表示两次中所得的最小点 数. (1) 试求 X 的分布列; (2) 写出 X 的分布函数, 并作图