安徽建筑工业学院：《弹性力学》第二章 平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题（位移法）2.9 按应力求解平面问题相容方程 2.10 应力函数（常体积力）

Ou Ox (2~3) Ou 将 Oy Ox 求两阶导数 相加 对 a8 a au a xy OX OXY ax axa a8 a-e, ar x (2-19) Ooy

− − −（2 ~ 3）            +   =   =   = y u x v y v x u xy y x    将          =   = x y v y x u y x 对 对   求两阶导数 x x y v y u y x x y x y xy    =          +      =   +      2 2 2 2 2 2           =      =   x y v x y x u y y x 2 3 2 2 2 3 2 2   相加 (2 19) 2 2 2 2 2 − − − −    =   +    y x x y x y xy   

注:(2-9)用应变表示的相容方程。表示同一平面内 点处的三个应变分量必须相互协调,才能保证变形 发生开裂或相互嵌入(位移连续),位移存在且是x,y 的连续函数。 嵌入 开裂 连续

注：（2-9）用应变表示的相容方程。表示同一平面内 一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形 发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是x，y 的连续函数。 开裂 嵌入 连续

用应力分量表示相容方程: 由物理方程 1 2~12) 1 xy 代入(2-9)式得到 2 2(x-A,)+ Ox2(y-0=212y (2-20)

用应力分量表示相容方程： 由物理方程 （２～12） 1 [ ] 1 [ ] 1          = = − = −         x y x y y y x x x y G E E 代入（2-9）式得到 ( ) ( ) ( ) y x x y xy x y y x    − = +   − +         2 2 2 2 2 2 1 (2-20)

化简(2-2)和(2-20)式 由平衡方程 dodIm+f= andy +f,=0 I a 两式相加 OO axa 3 代入(2-20)式: ap2x=,)+ 2(1+PL

由平衡方程 + = 0  +    x x yx f x y   + = 0  +    y xy y f x y   x f x y x yx x x   −  = −     2 2 2   y f x y y xy y y   −  = −     2 2 2   两式相加 y f x y f x y x xy x x y y   −  −   −  = −      2 2 2 2 2 2    ( ) ( ) ( ) y x x y xy x y y x    − = +   − +         2 2 2 2 2 2 1 代入（2-20）式： 化简（2-2）和（2-20）式