向量值函数导数的物理意义: 设r=f()表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 速度向量:v(t)=f(t 加速度向量:a=v(t)=f"(t) 例1.设f(t)=(c0s1)i+(sint)j+tk,求limf(t) t→ 94: lim f(t)=(lim cost)i+(lim sin t)j+limt k 21+j+(=f() 1+ 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义: 设 r = f (t) 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 v(t) = f (t) a = v (t) = f (t) ( ) (cos ) (sin ) , lim ( ). 4 π f t t i t j t k f t t→ 例1. 设 = + + 求 速度向量： 加速度向量： 解： f t t i t j t k t t t t 4 π 4 π 4 π 4 π lim ( ) (lim cos ) (lim sin ) lim → → → → = + + i j k 4 π 2 2 2 2 = + + ( ( ) ) 4 π = f
例2.设空间曲线厂的向量方程为 f(t)=(t+1,4t-3,212-61),t∈R 求曲线厂上对应于0=2的点处的单位切向量 解:f()=(2t,4,4-6),t∈R f(2)=(4,4,-2) f(2)=√4+4+(-2)=6 故所求单位切向量为 f(2) 333 其方向与t的增长方向一致 另一与t的增长方向相反的单位切向量为( △o 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于 解: ( ) ( 1, 4 3, 2 6 ) 2 2 r = f t = t + t − t − t 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 ) 3 1 , 3 2 , 3 2 (− − − = 6
例3.—人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺 旋式上升,其位置向量为r=(3cos,3in,t2,求 1)滑翔机在任意时刻t的速度向量与加速度向量 ()滑翔机在任意时刻t的速率 (3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻 解:(1)=r()=(-3sint,3cost,2) y=(-3c0s,-3sint,2) (2)7()=(=3in)2+(-300)2+(2)2=9+4 (3)由νa=0即9 sint cost-9 costain+4t=0, 得t=0,即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交 ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 旋式上升, 其位置向量为 求 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻. 解: (1) (3) 由 即 得t = 0, 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交
、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位 置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面 给定光滑曲线 F:f(1)=(0()y(t),O(t) 则当0,v,o‘不同时为0时,在 点M(x,yz)处的切向量及法平面的 法向量均为 f(t)=(q(,y(t),o)(t) 利用点式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. T M 置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 ：f (t) = ((t), (t),(t)) 给定光滑曲线 在 f (t) = ((t),(t),(t)) 点法式可建立曲线的法平面方程 利用 则当 ， ，不同时为 0时， 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 点向式可建立曲线的切线方程
1.曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线:x=0(1,y=v(),z=0(),t∈[a,月 设/上的点M(x,y。2)对应t=10,()v(t)0()不全 为0,则在点M的导向量为 f(0)=(0(10)2v(t0),O(t0)) 因此曲线在点M处的 切线方程 x-xo y-y 0(0)(t0)o′(t0) 法平面方程 0(t0)(x-x0)+v(t0)(y-y0)+0'(t0)(2-=0)=0 ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况 因此曲线 在点 M 处的 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t ( , , ) , 0 0 0 0 设上的点M x y z 对应t = t 则 在点M 的导向量为 ( )( ) 0 0 t x − x ( )( ) 0 0 + t y − y ( )( ) 0 + t0 z − z0 = 法平面方程 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 f t = t t t M ( ) 0 f t (t 0 ),(t 0 ),(t 0 )不全 给定光滑曲线 为0, 切线方程