算法-习题课-思考与练习

第九章习题课多元茜数微分法基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用目录：上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 习题课 第九章 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法

基本概念极限、连续1.多元函数的定义、定义域及对应规律判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系

思考与练习xylim1.讨论二重极限时，下列算法是否正确x-→0 x + yJ-0解法1原式=lim=0→01+1J-0xk令y=kx,原式=limx解法2x→0 1+k解法3令x=rcoso，y=rsinercos0sin0原式=lim0r→0 cos0+sin0上页下页目录：返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 讨论二重极限 x y xy y x + → → 0 0 lim 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx, 0 1 lim 0 = + = → k k x x 原式 解法3 令 x = r cos , y = rsin , 0 cos sin cos sin lim 0 = + = →   r   r 原式 时, 下列算法是否正确?

分析：xylimlim解达1一L二x→01+1x-0 x+ yy-0JxJ-0此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况，第二步未考虑分母变化的所有情况例如,J=善时,+1=1,1此时极限为1k=0解送2 令y=kx，原式=lim xx→01+k例如y=x2-x时此法排除了沿曲线趋于原点的情况原式=lim=-1x-0X上页下页返回目录结束

目录 上页 下页 返回 结束 分析: x y xy y x + → → 0 0 解法1 lim 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx, 0 1 lim 0 = + = → k k x x 原式 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况.   例如 y = x 2 − x时 lim 1 2 3 2 0 = − − = → x x x x 原式 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时

解法3令x=rcoso,y=rsinrcossina原式=limr→0cos0+sin0此法忽略了的任意性，当r→0,0→-时rcosOsinercosOsine极限不存在！cos0+ sin0~2 sin( +0)因为都不能保证由以上分析可见，三种解法都不对自变量在定义域内以任意方式趋于原点.同时还可看到本题极限实际上不存在特别要注意，在某些情况下可以利用极坐标求极限但要注意在定义域内r，θ的变化应该是任意的上页下页目录返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 解法3 令 x = r cos , y = rsin , 0 cos sin cos sin lim 0 = + = →   r   r 原式 此法忽略了 的任意性,  当r → 0, → − π 4 时 2sin( ) cos sin cos sin cos sin 4 π        + = + r r 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r ,  的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在