定理4.11：设实数a，b且a<b，则[a,bl[a,b),(a,bl（a,b)的基数均为c。实数集R的基数(0,1)到R的双射f:f(x）=tg（元X-元/2)R=(0,1)=线段上的点数和实数轴上的点数是一样的整数集，非负整数集，正整数集，有理数集它们的基数是。实数集为无理数集？
定理4.11:设实数a,b且a<b,则 [a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2) |R|=|(0,1)|=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样 的 整数集，非负整数集，正整数集，有理 数集它们的基数是0 实数集为 无理数集?
设P表示无理数集R-PUQ,1Q=09由定理4.10知定理4.10：设A是有限集或可列集，B是任一无限集，则AUB=B。R=PUQ=PP的基数是。定理：两两不相交的可列个基数为c的集合的并集，它的基数也是c。设Ei，E2En..是两两不相交的基数为c的集合.S=UEk构造S到[0,1)之间的双射，也要寻找依托利用E.与[c,d)存在双射来实现
设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=0 , 由定理4.10知， 定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。 |R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是。 定理：两两不相交的可列个基数为c的集 合的并集，它的基数也是c。 设E1 , E2 ,.,En ,.是两两不相交的基数为c的集 合.S= ∪Ek 构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托. 利用Ei与[c,d)存在双射来实现
在无限集中，有基数为oc,还有其他基数吗？定理：设F是[0,11上一切实函数集，则F的基数不是也不是c证明：(1)F的基数不是(2)F的基数不是c。定义：[0,1]上一切实函数集的基数为f也记为2现在有能否类似于数进行比较？
在无限集中,有基数为0 ,c,还有其他基数 吗? 定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的 基数不是0 ,也不是c. 证明:(1) F的基数不是0 (2)F的基数不是c. 定义: [0,1]上一切实函数集的基数为f,也 记为2 . 现在有0 , 1 , 2 ,能否类似于数进行比 较?
4.4基数的比较定义4.6：设A和B是两个集合，若存在从A到B的内射，则称A的基数小于或等于B的基数,记为|A|≤|B或|B|≥|A|。若IA|≤B且IA|B，则称A的基数小于B的基数，记为A<B。定理4.12：设AB,C是任意集合，那么(1)若AcB,则|A/≤B。(2)若|A|≤B|,|B≤|C|,则|A|≤|C]
4.4 基数的比较 定义4.6：设A和B是两个集合, 若存在从 A到B的内射, 则称A的基数小于或等于B 的基数,记为|A|≦|B|或|B|≧|A|。若 |A|≦|B|且|A|≠|B|, 则称A的基数小于B的 基数, 记为|A<|B|。 定理4.12：设A,B,C是任意集合, 那么 (1)若AB,则|A|≦|B|。 (2)若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|
推论：若A是无限集，则INI≤IA/。可列集是无限集中基数最小的[0,1]是无限集，且[0,1]=c0所以>定理4.13（蔡梅罗（Zermelo）定理）：设A和B是任意两个集合，那么AB,BKAABI三者中恰有一个成立。对于基数集，对于基数集上任一元素AI，因为ACA,则IA|≤AI，自反。由定理4.12(2)(若|A/≤|B||B|≤|C|,则|A/≤|C)知传递，是否反对称呢？
推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。 可列集是无限集中基数最小的 [0,1]是无限集，且|[0,1]|=c0 , 所以c>0 定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理 ):设A和B 是任意两个集合, 那么|A|<|B|,|B|<|A|,|A|= |B|三者中恰有一个成立。 对于基数集，对于基数集上任一元素|A|，因为 AA,则|A|≦|A|，自反。 由定理4.12(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知 传递， 是否反对称呢？