第十一章第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算法、三、两类曲线积分之间的联系目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章
对坐标的曲线积分的概念与性质一、1. 引例变力沿曲线所作的功B设一质点受如下变力作用AF(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))+在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B求移动过程中变力所作的功W解决办法变力沿直线所作的功“分割"“代替"W=FIABIcoseF“求和"一=FAB2B“取极限"目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 W= F|AB|cosθ “分割” “代替” “求和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. = F⋅ AB A B F θ F( x, y)= (P( x, y) , Q( x, y)) A B L x y
1)“分割"插入n-1个分点:A= Mo, M,(xi,y),., Mn-I(xn-1, Yn-1), M, = BF(Sk,nk)把L分成n个小弧段，F沿Mk-1MkyBLkn所做的功为AWk，则WEW=AWMXRKA02)“代替”X有向小弧段用有向线段Mk-1Mk=(Axk，4yk)上任取一点（Sk，nk)，则有近似代替，在AW~ F(Ek,nk)-Mk-IM= P(Ek,nk)Ax +Q(Ek,nk)Ayk上页下页返回目录结束
目录 上页 下页 返回 结束 Mk− 1 Mk A B x y 1) “分割”. 2) “代替” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 = ( Δxk , Δyk ) 近似代替, ( ξk , ηk ), 则有 = + P x Q y ( , ) ( , ) k k k k k k Δ Δ 所做的功为 ΔWk , F 沿 Mk− 1 Mk 1 ( , ) W F M M k k k k k − F( ξk , ηk ) W= ∑ k= 1 n ΔWk 则 用有向线段 Mk− 1 Mk 在 上任取一点 Δyk Δxk 0 1 1 1 1 1 1 1 : , ( , ), , ( , ), . n n n n 插入 个分点 n A M M x y M x y M B − = = − − −
3）“求近似和n>P(Sk,nk)Ax+Q(Sk,nk)Ayk1W~1取极限4)“91nZ[P(sk, nk )Axe + Q(k, nk )Ayk ]W=lim入-0k=1F(Sk,nk)（其中为n个小弧段的B最大长度)alykkMAXKA上页下页返回目录结束
目录 上页 下页 返回 结束 3) “求近似和” 4) “取极限” W≈ ∑ k= 1 n [ P(ξk , ηk )Δxk +Q( ξk , ηk )Δyk ] W= lim λ→0 ∑ k= 1 n P( , , ξk k k k k k η ) x Q( Δ + ξ η ) y Δ (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) Mk− 1 Mk A B x y L F( ξk , ηk ) Δyk Δxk
2.定义设L为平面内从点A到点B的一条有向可求长的曲线弧，函数 P(x,y)与Q(x,y)定义在L上,对的任一分割T，它把L分成 n个有向小弧段 Mi-1M(i= 1,2,.,n), 其中M= A, M= B.记各小曲线段Mi-1M,的弧长为△s,分割T的细度Ⅱ=smax1≤i≤n设分点M,的坐标为（xy)并记△x,= X,- Xi-1, 4y;= yi- yi-1, (i= 1,2,,n),目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设L为 平面内从点 A到点 B的一条有向可求长的 曲线弧, 函数 P( x, y)与Q( x, y)定义在L上 , 对L的 任一分割T , 它把 L分成 n个有向小弧段 Mi− 1 Mi (i= 1,2, ⋯ ,n), 其中M0 = A, Mn = B. 记各小曲线 段 Mi− 1 Mi 的弧长为Δsi , 分割T的细度||T||= max 1≤ i≤ n Δsi . 并记Δxi = xi − xi− 1 , Δyi = yi − yi− 1 , ( , ), i i i 设分点M 的坐标为 x y (i= 1,2, ⋯ ,n)