第十一章第五节对坐标的曲面积分有向曲面及曲面元素的投影一、74二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系
第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章
一、有向曲面及曲面元素的投影双侧曲面·曲面分类曲面分内侧和单侧曲面外侧曲面分左侧和曲面分上侧和莫比乌斯带右侧下侧（单侧曲面的典型）
一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧
，指定了侧的曲面叫有向曲面其方向用法向量指向表示方向余弦封闭曲面cosβcosaCOSY外侧>0 为前侧>0 为右侧 >0 为上侧侧的规定内侧<0 为后侧<0 为左侧<0 为下侧·设又为有向曲面其面元4S在xOy面上的投影记为(4S) xy， (4S)xy的面积为（△）x≥0，则规定(△o)xy当cosy>O时类似可规定(4S) x=-(△a)xy"当cosy<O时(4S) yz, (4S)11Z当cosy三O时01
其方向用法向量指向 方向余弦 cosα cos β cosγ > 0 为前侧 < 0 为后侧 封闭曲面 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设 为有向曲面, ( ΔS) xy , ΔS ( ΔS) xy = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 ( Δσ ) ( ΔS) xy ≥ 0 , xy 的面积为 则规定 ( Δσ ) xy , − ( Δσ ) xy , 0 , 当 cosγ >0 时 当 cosγ<0 时 当 cosγ ≡ 0 时 类似可规定 ( ΔS) yz , ( ΔS) zx
对坐标的曲面积分的概念与性质、1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为V=(P(x, y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))求单位时间流过有向曲面了的流量Φn分析：若二是面积为S的平面法向量：n=（cosα，cosβ，cosy）e流速为常向量：S则流量中= Sl vlcose=SV.n
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S θ 分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 Φ= 法向量: 流速为常向量: v= (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) n= (cosα , cos β , cosγ) v S⋅| v |cosθ = S v ⋅ n n v
对一般的有向曲面乙，对稳定流动的不可压缩流体的速度场V=(P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z))?niA用“分割，代替，近似和，取极限”lim中=进行分析可得V:n,4S入0三N设 n,=(cosα;, cosβ;, cos Yi),则n［P(Si,ni,S)cosa, +Q(Si,ni,S)cosβΦ =lim入0百1+R(S,,ni,S)cosYi) AsD=lim[ P(Si,Ni,3)(4S)y +Q(Si,Ni,3,)(4S)zx?>0合+R(S,ni,S)(4S)xy)
Σ 对一般的有向曲面 , 用“分割, 代替, 近似和, 取极限” ∑ i= 1 n lim λ→0 Φ= = lim λ→0 ∑ i= 1 n [ P( ξi ,ηi ,ζi )cosαi +R( ξi ,ηi ,ζi )cosγi = lim λ→0 ∑ i= 1 n [ P( ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) yz +Q( ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) zx +R( ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) xy ] +Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ] ΔSi 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 v= (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) 进行分析可得 ni vi vi ⋅ ni ΔSi 设 ni = (cosαi , cos βi , cosγi ) Φ , 则