第十一章第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质引例：设曲面形构件具有连续面密度p（×，y,z)，求质量M.(Sk,nkSk)采用类似求平面薄板质量的思想“分割，代替，近似和，求极限”的方法,可得nSM=limp(Sk,nk,Sk)△S>-0其中，表示n小块曲面的直径的最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者）
O x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 ρ ( x, y, z), 类似求平面薄板质量的思想, 采用 ρ (ξk ,ηk ,ζk )ΔSk 可得 ∑ k= 1 n lim λ→0 M= ( ξk ,ηk ,ζk ) 求质 “分割, 代替, 近似和, 求极限” 的方法, Σ 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)
nIf f(x, y,z) ds = limf(S, ni, 3)4S7ⅡT-0W其中f(x,z)叫做被积函数门叫做积分曲面JJ p(X, y,z)ds据此定义M=曲面形构件的质量为曲面面积为Sds
∬ Σ f ( x, y, z)dS = lim ||T||→0 ∑ i= 1 n f ( ξi ,ηi ,ζi )ΔSi 其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面. M=∬ Σ 据此定义, 曲面形构件的质量为 ρ( x, y,z)dS 曲面面积为 S=∬ Σ dS
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似·积分的存在性若f(x,y,z)在光滑曲面上连续则对面积的曲面积分存在例如分成两·对积分域的可加性若之是分片光滑的片光滑曲面122，则有J_f(x,y,z)d J z,f(x,y,z)ds +J_,f(xy,z)ds?线性性质设,kz为常数，则JJ [Kf(x, y,z)+ k2g(x,y,z)]ds= k JJ _f(x,y,z) ds+t k2JJ _g(x, y,z) ds
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. Σ1 , Σ2 , 则有 ∬ Σ f ( x, y,z)dS= ∬ Σ1 f ( x, y, z)dS +∬ Σ2 f ( x, y, z) dS ∬ Σ [ k1 f ( x, y,z)±k2 g( x, y,z) ] dS • 线性性质. 设 k1 ,k2 为常数 , 则 = k1∬ Σ f ( x, y,z) dS±k2∬ Σ g( x, y,z) dS 若 f ( x, y,z) 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面
二、对面积的曲面积分的计算法定理：设有光滑曲面Z:z= z(x, y), (x,y)EDXy，则曲面积分f(x, y z)在上连续,DJ,f(x, y,z) dS 存在,且有xyXJ ( x, y, ) ds(Aok)x y (Sk,nk,Sk)= JSpxff(, x, y) V1+z,2(x, y)+z,2(x, y)dxdyXI证明：由定义知nJ, ( y 2) dsNlimf (SkNk,k)Sk入-0k=1
O x y z 定理: 设有光滑曲面 Σ: z= z( x, y), ( x, y)∈Dxy f (x, y, z) 在 上连续, ∬ 存在, 且有 Σ f ( x, y,z) dS =∬Dxy f ( x, y, ) ∬Σ f ( x, y,z) dS z( x, y) √1+z x 2 ( x, y)+z y 2 ( x, y)dxdy 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 ∬Σ f ( x, y,z) dS= f ( ξk ,ηk ,ζk ∑ )ΔSk k= 1 n lim λ→0 Dxy ( ξk ,ηk ,ζk ( Δσ ) k ) x y Σ