方差的定义 设X是一个随机变量,若E{XE(XJ 0 则称 Var(X=E1X-E(12) 为X的方差 采用平方是为了保证一切 注:有的书上差值XE(X)都起正面的作用 记作D(X 由于它与X具有相同的度量单位,在实 际问题中经常使用 回回
一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实 际问题中经常使用. 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2 }<∞， 则称 Var(X)=E{[X-E(X)]2 } (1) 为X的方差. 注：有的书上 记作D(X)
Var(X=EIX-E(X)I2 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 若X的取值比较集中,则方差较小; 若X的取值比较分散,则方差较大 若方差Mr(X=0,则:v.X以概率1取常数值 回回
若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度. 若X的取值比较集中，则方差较小； Var(X)=E[X-E(X)]2
由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X2的数学期望 X为离散型, ∑[x4-E(X)pLPw Var(X)= k Lx-e(Xf(x)dx X为连续型, X-f(x) 回回
X为离散型， P{X=xk }=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . − − = − = [ ( )] ( ) , [ ( )] , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X p Var X k k k X为连续型， X~f(x)
二、计算方差的一个简化公式 Var(X=E(X2)-E(X)I2 展开 证:Wr(X)=EXE(X)2 E{2-2XE(X+E(X)2} E(2)2|E(X)2+1FCX)2」利用期望 性质 =E(X)-E(X)2 请自己用此公式计算常见分布的方差 回回
二、计算方差的一个简化公式 Var(X)=E(X2 )-[E(X)]2 展开 证：Var(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2 -2XE(X)+[E(X)]2 } =E(X2 )-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2 )-[E(X)]2 利用期望 性质 请自己用此公式计算常见分布的方差
例1设rX服从几何分布,概率函数为 P(X=k)=p(1-p)1,k=1,2,,n 其中0<p<1,求r(X) 无穷递缩等比 解:记q=1p 级数求和公式 E(X)=∑如p k-1 p∑(q 求和与求导 交换次序厂=p∑q)=p,q k=1 9 p 回回
例1 设r.v. X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p) k-1 , k=1,2,…，n 其中0<p<1,求Var(X) 解： 记q=1-p = − = 1 1 ( ) k k E X kpq = = 1 ( )' k k p q = = 1 ( )' k k p q )' 1 ( q q p − = p 1 = 求和与求导 交换次序 无穷递缩等比 级数求和公式