导数概念() 10定义 f(x)≈lim4y Ax→0△x ifxo+△x)-f(xo) △x→0 △x f(x)-f(xo) x→x0X-X (x)=lim f(x+△x)-fx) Ax→0 左导数f()=mf0+A)fx)=hmt=fxo) △x→0 △x x→X0 右导数f(x) f(xo+Ax)-f(o). lim f(x)-ix( Ax→0+ X→X0 ∴f(xo)=A←>f'(x0)=f4(xo)=A 可以证明: 可导→连续。即可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件
1 一、导数概念（ 0 0 ） 1 0 定义 x y f (x ) lim x 0 0 / = → 0 0 x x 0 0 x 0 x x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) lim 0 − − = + − = → → x f(x x) f(x) f (x) lim x 0 / + − = → 左导数 0 0 x x 0 0 x 0 / - x - x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) f (x) lim 0 - − = + − = → → − 右导数 0 0 x x 0 0 x 0 / x - x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) f (x) lim 0 − = + − = → + → + + ∴ f (x ) A f (x ) f (x0 ) A / 0 / 0 - / = = + = 可以证明： 可导→连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件
20导数的几何意义 曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线 y XSIn ≠0 例1:讨论f(x) 在x=0处可导性 X=0 解: lim f(x)=lin 0=f(0) x→>0 x→)0 f(x)在ⅹ=0连续 f(x)-f(0) lim sin 不存在 ∴fx)在ⅹ=0不可导 例2:已知f(x0)存在 则lm f(x0+2h)-f(x0) 2f(x2) h lin f(x.-5h)-f(x)=-5f'(xo) lim ixo +3h)-fixo-)=lim f(xo+ 3h)-fixo)-fixo-h)-fi(xo) 4f(x0)
2 2 0 导数的几何意义 曲线 y = f(x) 在点 ( ) 0 y0 x , 处切线： ( )( ) 0 0 / y − y0 = f x x − x 例 1：讨论 = = 0 x 0 x 0 x 1 xsin f(x) 在 x=0 处可导性 解：∵ 0 f(0) x 1 lim f(x) lim xsin x 0 x 0 = = = → → f(x) 在 x = 0 连续 x 1 lim sin x - 0 f(x) -f(0) lim x→0 x→0 = 不存在 ∴ f(x) 在 x = 0 不可导 例 2：已知 f (x ) 0 / 存在 则 = + → h f(x 2h) - f(x ) lim 0 0 h 0 2f (x ) 0 / = − → h f(x 5h) - f(x ) lim 0 0 h 0 5f (x ) 0 / − h f(x h) - f(x ) h f(x 3h) - f(x ) lim h f(x 3h) - f(x - h) lim 0 0 0 0 h 0 0 0 h 0 − − + = + → → 4f (x )0 / =
例3:设函数f(x)可微, ay lim f (x+Ax)-f2(x)=2f(x)f(x) 例4:P63例25 设f( ax +b >0 为使fx)在x=X0处可导, 应如何选取常数a、b 解:首先f(x)必须在ⅹo连续 f(x)=lim x2 X→x0 lim f(x)=lim ax+b=axo+b ∵ax+b=x0 f(x)= lim fx)-fxo) = lim lim x+Xo=2Xo X→X0 fl(x)=lim f(x)-f(xo) lim ax+b X→x0 X→x0 lim (由①得) (x0)存在 a=2X 从而b=-X0
3 例 3：设函数 f(x) 可微， 则 = + → x f (x x) - f (x) lim 2 2 x 0 2f(x)f (x) / 例 4：P63 例 2-5 设 + = ax b x 0 x x x f(x) 0 2 为使 f(x) 在 x = x0 处可导， 应如何选取常数 a、b 解：首先 f(x) 必须在 x0连续 2 0 2 x x x x lim f(x) lim x x - 0 - 0 = = → → lim f(x) lim ax b ax0 b x x0 x x0 = + = + → + → + ∴ 2 b x0 ax + = ① 0 2 0 2 0 x x 0 x x / - x - x x x lim x - x f(x) f(x ) f (x) lim 0 0 − = − = → − → − 0 0 x x lim x x 2x 0 = + = → − a x - x ax - ax lim x - x ax b - x lim x - x f(x) f(x ) f (x) lim 0 0 x x 0 2 0 0 x x 0 x x / 0 0 0 = = + = − = + + + → → → + ∵ f (x ) 0 / 存在 ∴ 2x0 a = 从而 2 b = −x0 （由①得）
例5:f(x)=x(x-1)x-2)…(x-9),则f(0)=-9 f(x)-f(0) 0 (x-1)(x-2)……(x-9)=-9 例6:设x)在x=0领域内连续, f(x) x0√1+x-1 则f(O) f(0)=limf(x)=0(分母→0) f/(o= lim fix)-fto)=lim fix) lim f(X 2 →0√1+X
4 例 5： f(x) = x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则 f (0) = / − 9! ∵ x - 0 f(x) - f(0) f (0) lim x 0 / → = lim (x 1)(x 2) (x 9) 9 ! x 0 = − − − = − → 例 6：设 f(x) 在 x = 0 领域内连续， 2 1 x 1 f(x) lim x 0 = → + − ， 则 f (0) = / 1 ∵ f(0) lim f(x) 0 x 0 = = → （分母→0） ∴ x f(x) lim x - 0 f(x) - f(0) f (0) lim x 0 x 0 / → → = = 1 2 1 2 x 1 x 1 1 x -1 f(x) lim x 0 = = + − + = →
例7:设函数f(1+x)=af(x) 且f(O)=b(a,b≠0), 问f(1)存在否? 解:f(1)=mnf(1+△x)-f1) imat(△x)-atoe △x→0 △x Ax→ △x f(△x)-f(0) Ax→0 △x
5 例 7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 f (0) b / = (a , b ≠0)， 问 f (1) / 存在否? 解： c x af( x)- af(0) lim x f(1 x)-f(1) f (1) lim x 0 x 0 / = + = → → af (0) ab x f( x) -f(0) lim a / x 0 = = = →