下面的例子说明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。例10.1.2设 S(x)=x"，则(S,(x))在区间(-1,1上收敛，极限函数为[0, -1<x<1,S(x) =lim Sn(x) =1,x=1.n>0虽然对一切n，S(x)在(-1,1)上连续（也是可导的)，但极限函数S(x)在x=1不连续（当然更谈不上在x=1可导）
下面的例子说明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。 例 10.1.2 设 Sn (x) = x n ，则 { Sn (x)}在区间 − ]1,1( 上收敛，极限函 数为 S (x) = n ∞→ lim Sn (x) = ⎩ ⎨ ⎧ = <<− .1,1 ,11,0 x x 虽然对一切 n，Sn (x ) 在 − ]1,1( 上连续（也是可导的），但极限函数 S (x ) 在 x = 1 不连续 (当然更谈不上在 x = 1 可导 )
(2）将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在D上可导时，和函数S(x)=u,(x)也在D上可导，并且成立12(0-2()dx即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数u,(x)n=1可以逐项求导）
(2) 将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上可 导时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上可导，并且成立 d x d ∑∞ =1 )( n n xu =∑ ∞ =1 )( dd n n xu x ， 即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可以逐项求导）
(2）将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在D上可导时，和函数S(x)=u,(x)也在D上可导，并且成立(-()dx即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数u,(x)n=l可以逐项求导）。对于函数序列(Sn(x))而言，相应的结论是极限函数 S(x)=lim S,(x)也在D上可导，并且成立 lim S,(x) =limd s(x),dxn-0odxn-→即求导运算与极限运算可以交换次序
对于函数序列{Sn(x)}而言，相应的结论是极限函数 S(x)= n ∞→ lim Sn(x) 也在 D 上可导，并且成立 d x d n ∞→ lim Sn(x) = n ∞→ lim d x d Sn(x)， 即求导运算与极限运算可以交换次序。 (2) 将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上可 导时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上可导，并且成立 d x d ∑∞ =1 )( n n xu =∑ ∞ =1 )( dd n n xu x ， 即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可以逐项求导）
例10.1.2已说明在点态收敛情况下，和函数或极限函数）可能不可导：下例说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一定成立。sin x，则(S,(x)在(-0,+o)上收敛，极限函例 10. 1. 3设 S(x)=SVn数为S(x)=0，从而导函数S(x)=0。由于S, (x) = /n cos nx,因此 S(x)的导函数所构成的序列(S,(x))并不收敛于s'(x）（例如当x= 0, S,(0)=/n →+0 )
例 10.1.2 已说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不 可导；下例说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一 定成立。 例 10.1.3 设 Sn(x)= n sin nx ，则{Sn(x)}在 −∞ +∞),( 上收敛，极限函 数为 S(x) = 0，从而导函数S′(x) = 0。 由于 Sn′ (x) = n cos nx， 因此 Sn(x)的导函数所构成的序列{ n S′ (x)}并不收敛于S′(x) （例如当 x = 0，Sn′ (0) = n +∞→ ）
(3）将性质（c）推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在闭区间[a, b]c D 上可积时，和函数 S(x)=u,(α)也在[a, b]上可积，并且成立"'Zu,(x)dx=Z'u,(x)dx,即求积分运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数u,(x)n=1可以逐项求积分）
(3) 将性质 (c) 推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在闭区间 [a, b]⊂ D 上可积时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在[a, b]上可积，并且成立 ∫ ∑ ∞ = b a n n d)( xxu 1 =∑∫ ∞ =1 d)( n b a n xxu ， 即求积分运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可以逐项求积分）