0:ho-landa/mu 4.3多服务台模型(M/M/s/o) 相继到达时间间隔服从参数为入的负指数分布，系统中共有个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。当顾客到 达时，若有 服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限 面来x个排系统的平程，记B,三PN=川CO2为系送 达到平稳状态后队长N的概率分布，注意到对个数为s的多服务台系统，有 元n=,n=0,l2,. 4=un=l2, sl,n=s、s+1.- (a1 ，n=l2,.,s C.= -g (18) 故 p n,n=12,5 Pr= (19) 其中 s-p) (20) 公式(19)和式(20)给出了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率，当n≥s时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记 cs,p)=∑P.s0-pP (21 式(21)称为Er1ang等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长L,为 1-(n-s)p.=Ppn-s)er -128
-128- s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu; Pwait=@peb(rho,s); p0=1-Pwait; Pt_gt_10=@exp(-1); end 4.3 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ） 设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。 下面来讨论这个排队系统的平稳分布。记 p P{N n} n = = （ n = 0,1,2,L）为系统 达到平稳状态后队长 N 的概率分布，注意到对个数为 s 的多服务台系统，有 λn = λ ， n = 0,1,2,L 和 ⎩ ⎨ ⎧ = + = = L L , , 1, , 1,2, , s n s s n n s n μ μ μ 记 μ ρ λ ρ s s s = = ，则当 ρ s < 1时，由式（4），式（5）和式（6），有 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − n s s s s s n s n C n s n n s n n , ! ( / ) ! ( / ) , 1,2, , ! ( / ) λ μ μ λ μ λ λ μ L （18） 故 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ = = − p n s s s p n s n p n s n n n , ! , 1,2, , ! 0 0 ρ ρ L （19） 其中 1 1 0 0 ! !(1 ) − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∑ + s n s n s n s p ρ ρ ρ （20） 公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记 0 !(1 ) ( , ) p s c s p s s n s n ρ ρ ρ − = ∑ = ∞ = （21） 式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为： ∑ ∑ ∞ = − ∞ = + = − = − n s n s s s n s q n n s s p L n s p ρ ρ ( ) ! ( ) 0 1
(22) 或 l=sp)e (23) 1-0. 记系统中正在接受服务的顾客的平均数为了，显然了也是正在忙的服务台的平均数，故 s-2p.+2A-艺昭+2nA 0 0-1 (-DI"(s-DIQ-2)- (24) 式(24)说明，平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数5，这是一个有趣的结果。 由式(24)，可得到平均队长L,为 L,=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数=L,+P (25) 对多服务台系统，Little公式依然成立，即有 =,，- (26) 例2 某售票处有3个窗口，顾客的到达为Poisson流，平均到达率为 元=0.9人/min:服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率4=0.4人/min。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个 MIMIs/o系统，其中 s=3,p=2=225,p= 12.25 <1 su 3 A=-22y+2222r (2.25)3下1 14 30-22573=0.0748 (2)平均排队长 5,-00748x225×225/3 311-2.2513 1.70(人) 平均队长 L=Ln+p=1.70+2.25=3.95(人) (3)平均等待时间 W,==70-189ain 0.9 平均逗留时 -会-305-439aim -129
-129- 2 0 1 0 ! !(1 )s s s n n s s s s p d d s p ρ ρ ρ ρ ρ ρ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∞ = （22） 或 s s q c s L ρ ρ ρ − = 1 ( , ) （23） 记系统中正在接受服务的顾客的平均数为 s ，显然 s 也是正在忙的服务台的平均数，故 0 1 0 0 1 0 ! !(1 ) p s p s n n s np s p s s s n n n s n s n n ρ ρ ρ − = ∑ + ∑ = ∑ + − = ∞ = − = ρ ρ ρ ρ ρ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − = − − = − ∑( 1)! ( 1)!(1 ) 1 1 1 1 0 s s s n n n s p （24） 式（24）说明，平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数 s ，这是一个有趣的结果。 由式（24），可得到平均队长 Ls 为 Ls = 平均排队长 + 正在接受服务的顾客的平均数 = Lq + ρ （25） 对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有 λ s s L W = ， λ μ 1 = = s − q q W L W （26） 例 2 某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个 M / M / s/ ∞ 系统，其中 s = 3 ， = = 2.25 μ λ ρ ， 1 3 2.25 = = < μ λ ρ s s 由多服务台等待制系统的有关公式，可得到 （1）整个售票处空闲的概率 0.0748 3!(1 2.25 / 3) (2.25) 2! (2.25) 1! (2.25) 0! (2.25) 1 0 1 2 3 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + + + − p （2）平均排队长 1.70 3!(1 2.25 / 3) 0.0748 (2.25) 2.25 / 3 2 3 = − × × Lq = （人） 平均队长 L = Lq + ρ = 1.70 + 2.25 = 3.95 （人） （3）平均等待时间 1.89 0.9 1.70 = = = λ q q L W （min） 平均逗留时间 4.39 0.9 3.95 = = = λ s s L W （min）