第2章轴向拉伸与压缩119解：1）求截面1-1、2-2上的内力假想在截面1-1处将杆分为两部分，取左半部分，其受力如例题图2-2(b)所示。应用平衡方程：F=0,FNl+30=0得截面1-1上的内力为FNl=-30 kN同样地，将杆在截面2-2处截开，取右半部分为研究对象，其受力如例题图2-2(c)所示。应用平衡方程：ZF=0,20FN2=0得截面2-2上的内力为FN2=20kN2）求截面1-1、2-2上的正应力截面1-1，应用式(2-2)得0=F= 4x(-30)x103Pa=-42.44MPa（压应力）A,元×(30×10-3)2截面2-2，由式（2-2）得4×30×103FN2=-（拉应力）Pa=63.66MPaG=元×（20×10）A关于正应力计算公式的说明(1）式(2-2)可以近似用于计算轴力沿轴线任意变化和/或截面尺寸A(x)沿轴线缓慢变化时的横截面正应力。如图2-10所示的变截面立柱在自重下的正应力，此时，轴力、截面面积及正应力都将是截面位置空间坐标x的函数。图2-10变截面立柱(2）在集中载荷作用点附近的区域，前面的平面假设不成立，如图2-11(a)所示。所以，在该区域应力分布比较复杂，如图2-11(b)所示，由式(2-2)不能正确计算横截面上的正应力，只能给出平均值。但是，随着远离集中载荷作用点，应力分布逐渐趋于均匀分布，如图2-11(c)和(d)所示。于是，在距离载荷作用端略远处仍可用式(2-2)计算正应力。而且实验证实，杆端加载方式的不同，只对载荷作用区域附近横截面上的应力分布有明显影响，而对距离载荷作用区域略远处（距离约为横截面的尺寸）的应力分布影响很小，如图2-11(d)所示。这一结论称为圣维南原理（Saint-Venantprinciple）。根据圣维南原理，无论杆端的载荷作用方式如何，均可以其合力代替，并利用式（2-2)计算远离载荷作用点处的横截面正应力。（3）为了满足实际工程的需要，有些杆件会在其上钻孔、攻丝、切口或制成阶梯状变截面杆等，导致杆件截面形状、尺寸发生突变，如图2-12所示。理论分析和实验结果均表明，在构件形状、尺寸突变的横截面上，应力分布不是均匀的，应力会在局部急剧增加，如图2-12(a)所示的受拉开孔薄板和图2-12(b)所示的受拉宽度突变矩形截面薄板。所以，由式(2-2)不能正确计算
20丨材料力学I这些横截面上的应力，只能给出其平均值。这种由于杆件形状尺寸突变引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中（stressconcentration）。距离构件形状、尺寸突变的区域稍远处，应力集中又迅速下降，趋于均匀分布，又可利用式（2-2）进行计算。44TAATA标杯FFFF/2FF/2(a)(b) a-a(c) b-b(d) c-c(e) c-c图2-11加载方式对杆端应力的影响(b)(a)图2-12截面形状和尺寸发生突变的杆件应力集中的程度可用应力集中系数（factorofstressconcentration）表征。其定义为杆件形状尺寸改变处横截面上的应力最大值与该截面的平均应力值（又称为名义应力）之比，用K表示：K=Omx(2-3)O.各种典型工况的应力集中系数，可从有关的设计手册中查得。试验结果表明，不同性质的材料，对应力的敏感程度不同。杆件截面形状、尺寸变化越剧烈，应力集中就越严重，因此在机械加工上多采用圆角过渡，以降低应力集中的影响。应力集中会降低杆件的承载能力，但相关的问题必须应用弹性理论或实验方法解决，这已经超出了本书的研究范围，感兴趣的读者可参阅相关的书籍。最后顺便指出，式(2-2)的推导是根据实验观察到的变形特征，提出横截面上应力分布的假设，然后根据横截面上内力由应力合成而获得的。后面将要学习的其他变形问题也都沿用这一推导思路，但其分析要复杂些，一般要根据变形特征，利用几何学的知识推出应变分布，然后利用应力-应变关系得到应力的分布，再根据应力合成内力获得应力的计算公式一一应力与内力的关系式
第2章轴向拉伸与压缩212.3.2轴向拉压杆件斜截面上的应力以上分析了拉压杆件横截面上应力，但破坏并不一定全部都沿横截面发生。为了全面了解杆件任意截面上的受力情况，分析其破坏原因，还需进一步研究斜截面上的应力。斜截面上的内力考虑如图2-13(a)所示的轴向拉伸杆。任意斜截面m-m的方位可用该斜截面的外法线n与杆轴线的夹角α表示，规定α逆时针为正。沿该截面将杆件截开，?mFP取左半部分研究其内力，如图2-13(b)所示。由静力平衡关系FRa可得，斜截面上内力的大小等于外力Fp，方向沿杆件轴线。m2a斜截面上的应力P0与横截面上正应力的计算式(2-2)的推导过程类似。根据前面总结的变形特征可知，斜截面上各点应力P。均匀分(b)Pa布，如图2-13(b)所示。若杆件横截面面积为A，则其斜截Fpp.面面积A。=A/cosα，于是斜截面上各点的应力均为(c)Fp_Fcosa图2-13轴向拉伸杆件斜截面上的应力(2-4)Pa=AA式中，Fp/A等于横截面上的正应力α，所以有(2-5)Pa=ocosα式（2-5)反映了斜截面上各点应力与横截面上各点正应力的关系，由该式可知，斜截面上的应力不会超过相应的横截面上的正应力将应力p。沿斜截面的法线和切线方向分解，可得斜截面上的正应力α。和切应力t。分别为Ca=Pacosα=gcosα(2-6)1osin2α(2-7)Ta=Pasinα=2其方向如图2-13(c)所示。由以上两式可知：（1）过杆件某一点不同截面方位上的应力各不相同，任意斜截面上的正应力。和切应力t。均是斜截面方位角α的函数，并由式(2-6)和式(2-7)求得。(2）当α=0°时，正应力α取最大值为max=；同时有t。=0。即横截面上的正应力取最大值，切应力为零。（3）当α=±45°时，切应力达到最大值tmx=α/2，但该截面上的正应力并不为零，其值为0。=α/2。若杆件抗剪切能力较弱，随着外载荷的不断加大，杆件就可能会发生沿45°斜截面的剪切破坏。（4）当α=士90°时，。=0，t=0。这表明平行于杆轴线的纵向平面上既不存在正应力，也不存在切应力。2.4材料拉伸压缩时的力学性能构件在外载荷作用下是否安全不仅取决于内部的应力，还取决于材料自身的力学性能。力学性能又称为机械性质，是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等特性，一般通过实验测
22材料力学I定。世界各国都制定了相应的标准，规范试件尺寸和试验过程以获得统一的、公认的材料力学性能参数，供构件设计和科学研究使用。读者可以参考相关的国家标准和实验教材。2.4.1低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是工程上广泛应用的金属材料，其应力-应变曲线具有典型意义。低碳钢拉伸时力学性能的测定，可依据我国现行标准（如国标GB228一2002《金属材料室内拉伸试验方法》），将被测材料制成标准试样，如图2-14（a）所示。常温静载下，在经过国家计量部门标定合格的试验机上进行单向拉伸试验。Ta-桥距Amd0(a)试样(b)a-c曲线图2-14拉伸试样及低碳钢试件拉伸应力-应变曲线试验过程中缓慢加载，试验机可同时记录试样所受的载荷F及相应的变形（对应试样标距lo的伸长量△)，直至试样被拉断。由此获得反映试样载荷-变形规律的曲线，该曲线称为试件的拉伸图或F-△/曲线。显然，该曲线与试样尺寸有关，为了消除试样尺寸的影响，将拉伸图中的拉力F除以试样试验前横截面的原始面积A得到应力α，伸长量△/除以试样试验前的原始标距lo，得到应变ε，从而得到材料的应力-应变曲线或称为-e曲线，如图2-14(b)所示。拉伸曲线的4个特征阶段根据低碳钢变形特点，其拉伸过程可分为如下4个阶段1.弹性阶段（图2-14(b中的OB段）低碳钢在拉伸初期的变形均为可恢复弹性变形。-e曲线上的初始阶段通常都有一直线段（图2-14(b)中的OA段），称为线性弹性区，这一区段内应力α与应变e成正比关系，可表示为0=EE(2-8)上式即为胡克定律（Hookelaw），其中E为比例常数，即线段OA的斜率，称为材料的弹性模量（又称为杨氏模量）。线弹性区应力的最高值（点A）称为比例极限（proportionallimit），用表示。超过。以后的AB段不再是直线，点B是材料只产生弹性变形时的应力最高值，称为弹性极限（elasticlimit)，用。表示。o。和o。相差很小，工程上有时不严格区别。2.屈服阶段（图2-14(b）中的BC段）在应力超过弹性极限的BC段，材料出现显著的塑性变形。在此阶段内应力增大到某一值后下降，然后在微小范围内波动，而应变却急剧增加，材料几乎丧失抵抗变形的能力。这种应力几乎没有变化，而应变却急剧增加的现象，称为屈服或流动（yield）
第2章轴向拉伸与压缩123屈服阶段的应力最高值和最低值分别称为上屈服极限和下屈服极限。一般地，材料的上屈服极限的值波动较大，而下屈服极限的值则比较稳定，因此，通常将材料的下屈服极限称为屈服极限（yieldlimit）或屈服点，用α，表示。材料发生塑性变形将明显影响其抵抗载荷的能力，所以。是衡量材料强度的重要指标。光滑试样屈服时，表面将出现与轴线约成45°的条纹，如图2-15所示。这些条纹是由于材料内部相对滑移造成的，称为滑移线（sliplines），是由拉伸时与杆轴线成45°斜截面上的最大切应力引起的。3.强化阶段（图2-14(b)中的CD段）过了屈服阶段后，材料抵抗变形的能力部分恢复，必须加大拉力才能使材料继续变形，这种现象称为材料的强化。强化阶段试样的横向尺寸明显缩小，曲线最高点D所对应的应力是拉伸过程中的最大应力，称为强度极限（strengthlimit），用o，表示，是衡量材料强度的另一重要指标。4.局部变形阶段（图2-14(b）中的DE段）应力达到强度极限后，试样开始在局部产生明显的收缩，出现颈缩现象（necking），如图2-16所示。由于颈缩，部分横截面面积迅速减小，使试样继续变形所需的拉力会随之减小，G-8曲线呈下降趋势，最终试样在颈缩处被拉断。XAXXXXXX图2-16低碳钢试件拉伸时产生的颈缩图2-15低碳钢试件拉伸时产生的滑移线卸载定律如果在强化阶段（如在图2-17中点F处）卸载，应力α与应变e之间将沿直线段FF变化该直线段与线弹性阶段的线段OA几乎平行。这一规律称为材料o的卸载定律（unloadinglaw）。线段FF2表示随卸载而消失的弹性应变e，线段OF表示卸载后不再恢复的塑性应变e。4.试验结果表明，卸载至点F后，如果立刻再加载，则应力与应变基本上沿直线FF上升，变形是弹性的，到达点F后，又沿FDE变化，即发生塑性变形，直至在E点被拉断。这说明，材料在强化F.FE阶段（已发生塑性变形）卸载，然后再加载，可以提高材料的弹性6Ep极限，但拉断时的塑性变形和延伸率则会减小。这种由于预加塑性变真图2-17低碳钢试件的卸载曲线形而使材料弹性极限提高的现象，称为冷作硬化。工程上常借助冷作硬化提高材料在弹性范围内的承载能力。退火处理可以消除冷作硬化现象。材料的塑性指标（1）延伸率（percentageelongation），是度量材料塑性的重要指标，用S表示，定义为S=N1x100%=hx100%(2-9)1lo式中，1o为试验前试样的标距，1为试样破断后的标距长度。低碳钢的延伸率很大，可达20%～30%。工程上一般规定，8>5%的材料为塑性材料，8<5%的材料为脆性材料。(2）截面收缩率（reductionofarea）也是度量材料塑性的指标，用y表示，定义为