第2章轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩的概念2.1实际工程中，有许多轴向受拉（压）的构件。如图2-1所示的简易吊车，在外载荷Fp作用下，杆AB承受轴向压力，产生轴向压缩变形：杆BC承受轴向拉力，产生轴向拉伸变形。又如，图2-2所示的内燃机车曲柄连杆机构中的连杆，承受轴向压力，产生轴向压缩变形。实际工程中常见的起重机吊索、厂房立柱、油压千斤顶的顶杆等也都是轴向受拉或压的杆件。虽然上述轴向拉压杆件的外形、加载方式及端部的连接方式各不相同，但其受力特点均为外力或其合力的作用线与杆件轴线重合，变形特点均为沿杆件轴线方向的伸长或缩短。这种沿杆件轴线方向的伸长或压缩变形称为轴向拉伸或压缩（axialtensionoraxialcompress）。6连杆FetB连杆FpsFpAnFPARBN图2-1简易吊车图2-2曲柄连杆机构发生轴向拉伸的杆件称为拉杆（如图2-1中的杆BC），发生轴向压缩的杆件称为压杆（如图2-1中的杆AB）。这类构件的受力和变形都可抽象为如图2-3所示的计算简图。(a)(b)图2-3轴向拉伸与压缩杆件本章主要研究杆件轴向拉伸、压缩时的强度和变形，也将介绍连接构件的剪切实用计算。虽然所涉及的问题比较简单，但却是杆类构件设计分析中十分重要的内容。2.2轴力与轴力图本节讲述如何根据力的平衡原理，利用1.3节介绍的截面法，由外力确定轴向拉压杆件的内力
15第2章轴向拉伸与压缩截面法求内力—轴力IIm如图2-4(a)所示，一直杆承受载荷F作用。以下根据m1.3节介绍的截面法的思想和步骤，求任一横截面m-m上(a)的内力。F1）沿横截面m-m假想将杆件截成两部分I、II，如a图2-4(b)、(c)所示。(b)2）分析图示内力。由图2-4(b)或(c)易知，为了满足平IPFN衡条件，横截面m-m上的分布内力应合成为一过横截面形m心且与该横截面垂直的合力，称为轴力（axialforce），用(c)FN表示。可见，轴向拉压杆件的内力为一轴力，可以为拉图2-4截面法求杆的内力力或压力。3）由平衡方程求解轴力。例如，取杆件左半部分为研究对象，受力如图2-4(b)所示。由平衡方程ZF=0,FN-F=0得FN=F轴力的符号规定为了保证同一截面左右两部分杆上的轴力具有相同的符号，我们不能再遵循以往外力的正负号规定，必须制定新的规则。通常规定如下：拉伸时的轴力为正，如图2-4(b)和(c)所示横截面m-m上的轴力：压缩时的轴力为负，如图2-5所示横截面m-m上的轴力。17轴力图F当沿杆件轴线作用两个及以上外力时，杆件图2-5杆的内力符号规定不同横截面上的轴力不尽相同，于是可将轴力写成横截面位置的函数（称为轴力方程）。若选取一直角坐标系，其平行于轴线的横坐标表示杆件各横截面位置，与轴线垂直的纵坐标表示相应横截面的轴力，则由此得到的图线可形象地表示各横截面轴力沿轴线的变化规律，称为轴力图（axialforcediagram）。下面以例题说明轴力图的绘制。例题2-1已知变截面直杆ABC受力如例题图2-1(a)所示。试作直杆ABC的轴力图2F2F例题图2-1(a)分析：该杆件除了在A、B两端有作用力外，还在中间B处有集中外力作用，所以AB和BC段杆的轴力不同，应分别利用截面法求解
161材料力学I解：应用截面法，在AB和BC段分别用假想的任意截面1-1、2-2将杆件截断，并假设所截开横截面上的轴力均为正，即为拉力，取如例题图2-1(c)、(d)所示的研究对象。B2C2F2(b)FN2FN2(c)(d)FeFA(e)例题图2-1（续）对于例题图2-1(c)所示的研究对象，应用平衡方程：ZF=0,FNL-F=0得杆AB段任意横截面上的轴力为FnT= F同理，对于例题图2-1(d）所示的研究对象，应用平衡方程：ZF,=0,FN2 +F=0得杆BC段任意横截面上的轴力为FN2=-F根据上述计算结果，在FN-x坐标系中绘制杆ABC的轴力图，如例题图2-1(e)所示。注意，为了突出显示，轴力图线与x坐标轴之间的区域填充以竖线，并标注上正负号。讨论：从轴力例题图2-1（二）（d)不难看出，在中间作用有集中外力的B处横截面两侧，轴力有突然的跳跃，间断值恰好等于集中力。该结论具有普遍意义，即凡是集中力（包括集中载荷和约束反力）作用的截面上（包括中间或两端），轴力有跳跃，跳跃值等于集中力。该结论很容易利用截面法证明。以例题图2-1（二）（a)为例，分别用假想的截面m-m和n-n沿B处横截面的左、右两侧将杆截断，取出包含有集中力2F的“一段零长度的杆”为研究对象，如图2-6所示。左右截面m-m和n-n上的轴力分别记为FNm和FNn，由平衡方程很容易得到FNn一FNm=2F。实际上，所谓的集中力是分布于一个很微小的区域△r内的分布力的近似结果。所以，若假设在△x内载荷均匀分布，则例题图2-1（二）（d)中的轴力在B附近将连续地从F变化到-F，如图2-7所示
第2章轴向拉伸与压缩1172F=-4x1.OnFNF2Fo0+0mn图2-6作用集中力处的受力平衡图2-7集中力的近似轴力与载荷的微分关系考虑载荷沿杆件轴线以任意函数f(x）连续变化的一般情况（典型的例子如竖直放置的杆件受其自身重量的作用），用假想的截面m-m和n-n在距原点x处截取一长为dx的微段杆，如图2-8所示。其上分布载荷形成的合力为f(x)dx，设截面m-m上的轴力为Fn(x)，则根据微积分原理，截面n-n上的轴力应为Fn(x）+dFN。由x方向平衡得F(x）+dF+f(x)dx=F(x），于是有dFN=-f(x)(2-1)dx上式表示了轴力与载荷之间的微分关系，它其实就是轴向拉压杆件内力的平衡微分方程，在材料力学其他形式的变形杆件中也存在类似的关系。由上式可以得到一些有用的结论，例如，若杆的一段内没有载荷作用，则轴力为常数，轴力图为一段平行于x轴的直线：若杆的一段内载荷沿轴线均匀分布，则轴力为线性函数，轴力图为一段斜直线。另外，可以通过对上式积分，并结合前面提到的集中力作用处的轴力变化特征，来直接计算任一截面的轴力。上述截取杆件微段进行分析的方法在以后其他形式的变形分析中也会经常用到。nm1(x)f(x)dx2FM(x)FM(x)+dFNmarnmaxnx(a)(b)图2-8微段的受力平衡及轴力与分布载荷的微分关系轴向拉压杆件的应力2.3正如绪论中指出，内力不能用来判断杆件的强度，例如，同一一材料制成的粗细不同的杆，在相同拉力下，轴力相同，但若同时增大拉力则细杆必然先断，所以必须借助应力判断杆的强度。本节讲述如何根据对变形特征的实验观察，提出轴向拉压杆件变形的假设，从而由内力确定任一横截面和斜截面上的应力。2.3.1轴向拉压杆件横截面上的应力虽然知道内力实际是一种分布作用力，但由截面法只能计算横截面上这些分布作用力的合力，即轴力，而不能确定轴力在横截面上各点的集度，即不知道横截面上的应力分布。为了获得轴向拉压杆件横截面上的应力分布规律，首先应通过实验研究杆件的变形特征
18丨材料力学I变形特征的实验观察和平面假设取一等直杆，如图2-9(a）所示，为了便于观察杆件的变形特征，先在杆表面作一系列平行于轴线的纵向线及垂(a直于轴线的横向线。然后在杆件两端施加一对轴向拉力F使杆件产生轴向拉伸变形，如图2-9(b)所示。(b)比较图2-9(a)和图2-9(b)，可以观察到如下现象：（1）变形后各横线仍保持直线，任意两相邻横线沿轴c→F线发生相对平移：a（2）变形后横线仍然垂直于纵线，纵线仍旧保持与轴图2-9轴向拉伸杆受力与变形关系线的平行。原矩形网格仍保持为矩形。受上述实验现象（1)的启发，可进行如下假设：原为平面的横截面，变形后仍保持平面。该假设通常称为轴向拉压时的平面假设（planeassumption）。若将杆件视为由无数纵向纤维组成的，根据平面假设，由上述实验现象(2)可知，杆件受拉时所有纵向纤维均匀伸长，即杆件任意横截面上各点处的变形相同。正应力杆件在外力作用下的内力是伴随变形一起产生的。由上述试验结果可知，轴向受拉杆件横截面上各点只有正应力，而无切应力t，所以轴力由横截面的正应力（对应的分布力）合成：FN=[odA根据平面假设，任意两横截面间各条纵向纤维的伸长量相同，由此不难推断，在杆件横截面上各点处有相同的内力分布集度，即正应力α在横截面上是均匀分布的，如图2-9(c)所示。若截面上轴力为F，横截面面积为A，则横截面上各点的正应力均为EN=(2-2)A即横截面上的正应力与轴力F成正比，与横截面的面积A成反比。虽然式(2-2)是以轴向拉伸为例推导的，但对于轴向压缩同样适用。轴向拉伸时的正应力称为拉应力，轴向压缩时的正应力称为压应力。正应力的符号通常规定为：拉应力为正，压应力为负。例题2-2变截面直杆ABC如例题图2-2(a)所示，已知d=30mm，dz=20mm，试求图中1-1、2-2截面上的正应力。-25kN2230 kN1120 kN30KN20kN1FNIFN2LC25kN21(a)(b)(c)例题图2-2分析：首先利用截面法求得两个截面上的轴力，然后利用式（2-2)计算正应力。需要注意，两个截面的面积不同