浙江大学：《初等模型》课程教学资源（PPT课件讲稿）马氏链模型

例48农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa 和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后, 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何? (a)假设:令n=0,1,2,。 (i)设an,bn和c分别表示第n代植物中,基因型为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比。令X(为第n代植物的基因型分 布: (n) 当n=0时 (0) 表示植物基因型的 初始分布(即培育 开始时的分布)

例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa 和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ （a）假设：令n=0,1,2,…。 （i）设an ,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分 布：           = n n n n c b a x ( ) 当n=0时           = 0 0 0 (0) c b a x 表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布） 例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa 和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？

显然有a0+b0+C0 (i)第n代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过表 52确定的。 (b)建模 根据假设(),先考虑第n代中的AA型。由于第n-1代的AA 型与A型结合。后代全部是AA型;第n-1代的Aa型与AA 型结合,后代是AA型的可能性为1/2,而第n-1代的aa型与 AA型结合,后代不可能是AA型。因此当n=1,2.时 1·a.,+-b.,+0 即 a.=a.,+-b n-1 (4.2) 类似可推出bn=bn1+cn-1Cn=0(44) (4.3)

（b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时 1 1 0 1 2 1 1 − − − =  + +  n n n n a a b c 1 1 2 1 n = n− + n− a a b 即 类似可推出 1 1 2 1 bn = bn− + cn− cn=0 显然有 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 1 a0 + b0 + c0 = (4.2) (4.3) (4.4)

将(4.2)、(4.3)、(4.4)式相加,得 +bn+Cn=am+bm+c 根据假设(,可递推得出: a tb tc=atb+c=l 对于(42)式(4.3)式和(4.4)式,我们采用矩阵形式简记为 x()=M(m),n=1,2,…(4.5) 其中 2 031,x)=b(注:这里M为转移矩阵的位置) 00

将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得 n + n + n = n−1 + n−1 + n−1 a b c a b c 根据假设(I)，可递推得出： an + bn + cn = a0 + b0 + c0 = 1 对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为 x (n) = Mx(n−1) ,n = 1,2,  其中           =                 = n n n n c b a M x ( ) , 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 1 （注：这里M为转移矩阵的位置） (4.5)

由(4.5)式递推,得 x()=Mn1)=M2x(n-2)=…=M"x)(4.6) (4.6)式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出M,我们将M对角化,即求出可逆矩阵P和对角 库D,使 MEPDP-1 因而有 M=PDP1,m=1,2, 其中 0 D"= 0 33 这里1,气2,孔是矩阵M的三个特征值。对于(45式 中的M,易求得它的特征值和特征向量: 1=1,2=12,3 =0

由（4.5）式递推，得 ( ) ( 1) 2 ( 2) (0) x Mx M x M x n n n n = = = = − −  (4.6) （4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角 库D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1 , n=1,2,… 其中           =           = n n n n D 3 2 1 3 2 1 0 0 0       这里 ， ， 是矩 阵M的三个特征值。对于 (4.5)式 中的M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0 1 2 3 1 2 3

因此 D=0 2 2 0 所以 P=le,:e: e 100 通过计算,P1=P,因此有 PD"P-x( 00-1-2|b 000

因此           = −           = −           =           = 1 2 1 0 1 1 0 0 1 , 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1 2 3 D e e e 所以             = = − − 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 2 3 P e e e 通过计算，P -1=P，因此有 ( ) 1 (0) x PD P x n n − =                     − −                             − − 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 c b a n ＝