《大学基础物理》课程教学资源（讲义）电场与磁场的相对论变换关系

**一、问题的提出电流是电荷的定向流动，而静止或运动都是相对于特定的参考系而言的。很自然地可以想到，若在一个参考系S中静止的电荷，在S系中观察只存在电场，在相对于S系匀速运动的S系中观察则同时存在电场和磁场：同样在S系中静止的两个电荷间只存在静电力，而在S系中这两个电荷间不仅存在电的相互作用，还存在磁的相互作用。经典电磁学中感应电动势分为感生和动生两种，只具有相对意义。例如一个磁铁和一个线圈，当磁铁静止、线圈运动时，因线圈切割磁感应线而在其中产生动生电动势，此电动势是由磁场产生的洛伦力引起的：若线圈静正、磁铁运动时，线圈中因磁通量变化而产生感生电动势，此电动势是由涡旋电场引起的。上述两种情形是同一物理过程在两个不同参考系中观察的结果，得到不同的描述，这个问题也正是1905年爱因斯坦创立狭义相对论的那篇论文《论动体的电动力学》中一开始就提出的。物理现象不应随参考系而异。在不同参考系中，电磁规律的形式为何不同？已建立的电磁规律是相对于哪个参考系的？不同参考系中得到的电磁规律之间有什么相互关系？电磁学中，无论速度多么低，伽利略变化都不再适用，解决这些问题要靠相对论。二、 相对论力学的相关结论1、洛伦兹变换设有两个惯性系S系和S'系，其对应的坐标轴互相平行，S'系相对S系以速度V沿x轴正方向运动，在t=t'=0时刻两个参考系的原点重合。把时间写成虚变量w=ict，以(x,y,z,w)为闵可夫斯基空间中的时空四矢量，洛伦兹变换为[x=r(x'-iβw)x=y(x+iBwly'=yy=y'NN'2'=N[w'=r(w-ipx)w=y(w+ix)1V式中i为虚数单位，β=，c为真空中的光速。若(AxAy,AzA)与(x,y,z,w)一样地y/i-β2C服从洛伦兹变换，即A ="(A +iBA)[A, =r(A’ -iBA)A, = A,A, = A'A' = A.A.= A'A, = r(A, -iBA.)(A, = r(A' +iBA')则它也是个时空四失量。2、四维速度相对于粒子静止的时钟所显示的时间间隔dT=ydt称为它的固有时，固有时是洛伦兹变换中的不变量。四维速度(ux,uy,uz,ut)定义为

* * 一、问题的提出 电流是电荷的定向流动，而静止或运动都是相对于特定的参考系而言的。很自然地可以想到， 若在一个参考系 S 中静止的电荷，在 S 系中观察只存在电场，在相对于 S 系匀速运动的 S'系中观 察则同时存在电场和磁场；同样，在 S 系中静止的两个电荷间只存在静电力，而在 S'系中这两个电 荷间不仅存在电的相互作用，还存在磁的相互作用。经典电磁学中感应电动势分为感生和动生两 种，只具有相对意义。例如一个磁铁和一个线圈，当磁铁静止、线圈运动时，因线圈切割磁感应线 而在其中产生动生电动势，此电动势是由磁场产生的洛伦兹力引起的；若线圈静止、磁铁运动时， 线圈中因磁通量变化而产生感生电动势，此电动势是由涡旋电场引起的。上述两种情形是同一物理 过程在两个不同参考系中观察的结果，得到不同的描述，这个问题也正是 1905 年爱因斯坦创立狭 义相对论的那篇论文《论动体的电动力学》中一开始就提出的。 物理现象不应随参考系而异。在不同参考系中，电磁规律的形式为何不同？已建立的电磁规律 是相对于哪个参考系的？不同参考系中得到的电磁规律之间有什么相互关系？电磁学中，无论速度 多么低，伽利略变化都不再适用，解决这些问题要靠相对论。 二、相对论力学的相关结论 1、洛伦兹变换 设有两个惯性系 S 系和 S'系，其对应的坐标轴互相平行，S'系相对 S 系以速度 V 沿 x 轴正方 向运动，在 t=t'=0 时刻两个参考系的原点重合。把时间写成虚变量 w=ict，以(x,y,z,w)为闵可夫 斯基空间中的时空四矢量，洛伦兹变换为 ( )  ( )        = −  =  =  = + w w i x z z y y x x i w     ( )  ( )       =  +  =  =  =  −  w w i x z z y y x x i w     式中 i 为虚数单位， c V  = ， 2 1 1   − = ，c 为真空中的光速。若(Ax,Ay,Az,At)与(x,y,z,w)一样地 服从洛伦兹变换，即 ( )  ( )        = −  =  =  = + t t x z z y y x x t A A i A A A A A A A i A     ( )  ( )       =  +  =  =  =  −  t t x z z y y x x t A A i A A A A A A A i A     则它也是个时空四矢量。 2、四维速度 相对于粒子静止的时钟所显示的时间间隔 dτ=γdt 称为它的固有时，固有时是洛伦兹变换中的 不变量。四维速度(ux,uy,uz,ut)定义为

**dxdx dtdt=Vxu.dtdtdtdtdtdydy dt=Vu,dtdtdt dtdz dtdzdtu.=Vdtdt dtdtdwdtdtdw=icudt dtdtdt四维速度是时空四矢量，它仍服从洛伦兹变换[u' =r(u +iβu.)[u,=r(u,-iβu')u,=uyu,=u,u.=u.u, =u.u,=r(u, -iBu)u,=y(u',+iβu.)3、四维动量四维动量是由三维动量p=(pr，Py,P.)和能量W组成的四维矢量mO为静质量P.=mouP,=mou,p.=mouWp,=i=mou,cmo为静质量。四维动量是时空四矢量，它仍服从洛伦兹变换[P=(p’-ip)p=r(p,+iβp.)p, = pyp,=p,P.=pp=P:[p, = r(p +ip')p, =(p,-iβp)三、电荷不变性与洛伦兹力公式的协变性在参考系变换时，物理量一般是变化的，规律的协变性要求规律中的物理量协同变换，而保持规律的形式不变。许多事实表明，一一个物体中的总电荷量不因物体的运动而改变。例如实验测定速度为V的带电粒子的荷质比满足v21-Cmmo而质量随速度变化的相对论公式为

* *            = = = = = = = = = = = =             d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d t ic t t w w u t v t t z z u t v t t y y u t v t t x x u t z z y y x x 四维速度是时空四矢量，它仍服从洛伦兹变换 ( )  ( )        = −  =  =  = + t t x z z y y x x t u u i u u u u u u u i u     ( )  ( )       =  +  =  =  =  −  t t x z z y y x x t u u i u u u u u u u i u     3、四维动量 四维动量是由三维动量 ( ) p px py pz = , ,  和能量 W 组成的四维矢量 m0 为静质量        = = = = = t t z z y y x x m u c W p i p m u p m u p m u 0 0 0 0 m0为静质量。四维动量是时空四矢量，它仍服从洛伦兹变换 ( )  ( )        = −  =  =  = + t t x z z y y x x t p p i p p p p p p p i p     ( )  ( )       =  +  =  =  =  −  t t x z z y y x x t p p i p p p p p p p i p     三、电荷不变性与洛伦兹力公式的协变性 在参考系变换时，物理量一般是变化的，规律的协变性要求规律中的物理量协同变换，而保持 规律的形式不变。 许多事实表明，一个物体中的总电荷量不因物体的运动而改变。例如实验测定速度为 v 的带电 粒子的荷质比满足 2 2 0 0 1 c v m q m q = − 而质量随速度变化的相对论公式为

**mmDC比较这两个公式，暗示着带电体的电量9不随运动速度而改变。又例如质子所带的正电量与电子所带的负电量精确相等。由于物体运动时，在其运动方向上长度将收缩，物体的体积也将收缩，故带电体的电荷密度不是不变量。若在某一参考系中观察到一个静止的带电体的电荷密度为P，在另一参考系中观察到带电体的运动速度为u，其电荷密度为p，则p=yP。相对性原理要求电磁学的基本方程在洛伦兹变换下要具有协变性。经典电磁学中的洛伦力公式F=qv×B只包含磁场力，不可能具有协变性，普遍的洛伦兹力公式应包含电场力，即F=g(E+ixB这里的电场既包含库仑场，也包含涡旋场。四、电磁场的相对论变换公式在相对论力学中四维动量是时空四矢量，服从洛伦兹变化；但它对时间t的导数dprdur=f=modtdtdp,du,=f= modtdtdu.dp.=f=modtdt-idwdp,iPdtcdtc即由力的三个分量(fx,fy,fz)和功率P的组合并不构成时空四矢量。若把dt换成固有时间隔dt，或者说在上述四个量上乘以兴dtdtFHTdtF,=f."dtpdF =dtC就变成服从洛伦兹变换的时空四失量{F =r(F'-iF)(F'=r(F+iBF)F,=F,F'=FF.=F!F'=FF'=r(F-iβF)[F, =r(F'+iβF)

* * 2 2 0 1 c v m m − = 比较这两个公式，暗示着带电体的电量 q 不随运动速度而改变。又例如质子所带的正电量与电子所 带的负电量精确相等。 由于物体运动时，在其运动方向上长度将收缩，物体的体积也将收缩，故带电体的电荷密度不 是不变量。若在某一参考系中观察到一个静止的带电体的电荷密度为ρ，在另一参考系中观察到带 电体的运动速度为 u，其电荷密度为ρ'，则ρ'=γρ。 相对性原理要求电磁学的基本方程在洛伦兹变换下要具有协变性。经典电磁学中的洛伦兹力公 式 F qv B    =  只包含磁场力，不可能具有协变性，普遍的洛伦兹力公式应包含电场力，即 F q(E v B)     = +  这里的电场既包含库仑场，也包含涡旋场。 四、电磁场的相对论变换公式 在相对论力学中四维动量是时空四矢量，服从洛伦兹变化；但它对时间 t 的导数            = = = = = = = = P c i t W c i t p f t u m t p f t u m t p f t u m t p t z z z y y y x x x d d d d d d d d d d d d d d d d 0 0 0 即由力的三个分量(fx,fy,fz)和功率 P 的组合并不构成时空四矢量。若把 dt 换成固有时间隔 dτ，或 者说在上述四个量上乘以 d dt            = = = =     d d d d d d d d t P c i F t F f t F f t F f t z z y y x x 就变成服从洛伦兹变换的时空四矢量 ( )  ( )       = −  =  =  = + t t x z z y y x x t F F i F F F F F F F i F     ( )  ( )       = +  =  =  =  −  t t x z z y y x x t F F i F F F F F F F i F    

小电磁学中电荷q受到的洛伦兹力和功率为J,=g(E,+v,B.-v.B)f,=g(E +vB -vBf.=q(E. +V,B, -V,B)p-Iq(v,E +,E,+v,E.)C乘以d，得dtF.=g-uE.+u.B.-u.BCF"uE,+uB-uB=qCF, = ql-uE.+uB,-uBF.-quE,+u,E,+u.E.根据洛伦兹变换下的协变性要求，从惯性系S变换到惯性系S'，上式应该具有的形式为1F'= ql-u'E'+u'B'-uB'CLuE,+B,uB.F'=qCF'=ql ---u,E'+u,B,-u,B'-qu,E' +u,E,F'+u.E!利用S系到S'系的洛伦变换，有-u,E,+u,B.-u,B,+ip-qlu,E,+u,E,+u.E.F'=r(F +iβF,)=lql-S把上式中的ux、uy、Uz、ut作洛伦兹反变换，化简后得到F'=-iqy+qr B.-BE.1R7-uE' +u,B'-u'B,由于上式对任意速度都成立，令其中u't、uy、uz的系数与F'=ql中u't、uy、uz的系数对应相等，得到

* * 电磁学中电荷 q 受到的洛伦兹力和功率为 ( ) ( ) ( )  ( )       = + + = + − = + − = + − x x y y z z z z x y y x y y z x x z x x y z z y q v E v E v E c i P c i f q E v B v B f q E v B v B f q E v B v B 乘以 d dt ，得  ( )           = + +       = − + −       = − + −       = − + − t x x y y z z z t z x y y x y t y z x x z x t x y z z y q u E u E u E c i F u E u B u B c i F q u E u B u B c i F q u E u B u B c i F q 根据洛伦兹变换下的协变性要求，从惯性系 S 变换到惯性系 S'，上式应该具有的形式为  ( )           =   +   +          = −   +   −          = −   +   −          = −   +   −   t x x y y z z z t z x y y x y t y z x x z x t x y z z y q u E u E u E c i F u E u B u B c i F q u E u B u B c i F q u E u B u B c i F q 利用 S 系到 S'系的洛伦兹变换，有 ( ) ( )       + + +      x  = x + t = − t x + y z − z y q uxEx uyEy uzEz c i u E u B u B i c i F  F iF  q  把上式中的 ux、uy、uz、ut作洛伦兹反变换，化简后得到 ( ) x x t z y y y Ez uz c E u q B c E u q B c iq F          − +      −  + − −  =       2 2 1 由于上式对任意速度都成立，令其中 u't、u'y、u'z的系数与        = −   +   −   x utEx uyBz uzBy c i F q 中 u't、u'y、u'z的系数对应相等，得到

**E=E14B4cβB.EB' =rlc同样的方法运用到其他分量，得到电磁场的洛伦兹变换公式为[E,=E'[E'=E.E, =r(E, -V.B.)E,=r(E,+V·B)[E' =r(E. +V.B,)E. =r(E' -V.B,)B' = BB, = B'VVB,=B,+B,=B'EC-VB' = rlB.E,B. =B'E1C20五、运动的点电荷的电场WE6°OG3Iz!/2考虑一个电量为9的点电荷静止于S系的原点，它在所产生的电场为E-qF4元(其分量为qxE'=4元(E=q4元起（E=24元80（）式中r"=(x)+()+(=)。S系中不存在磁场，即B'= B', = B' = 0

* *                 = −        = +  = z z y y y z x x E c B B E c B B E E     同样的方法运用到其他分量，得到电磁场的洛伦兹变换公式为 ( ) ( )       = +   = −   = z z y y y z x x E E V B E E V B E E   ( ) ( )      =  −   =  +   =  z z y y y z x x E E V B E E V B E E                   = −        = +  = z z y y y z x x E c V B B E c V B B B B 2 2                  =  +        =  −  =  z z y y y z x x E c V B B E c V B B B B 2 2   五、运动的点电荷的电场 考虑一个电量为 q 的点电荷静止于 S'系的原点，它在所产生的电场为 ( ) 3 4 0 r q r E    =    其分量为 ( ) ( ) ( )             =    =    = 3 0 3 0 3 0 4 4 4 r q z E r q y E r q x E z y x    式中 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 r  = x  + y  + z  。S'系中不存在磁场，即 Bx  = B y = Bz  = 0