福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十二章 柱函数

w-n日门 G 2k+1 -8品n .2k+21 xwo-20 +1 2k+2v- 2品周 2k+2V- x"J(x)+vxJ (x)=x"J(x)

11 ( ) ( ) ( ) 2 0 ! 1 2 k k k x J x k k    +  = −   =    + +    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 ! 1 2 k k k k x J x x k k      +  + = −   =    + +    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 2 1 ! 1 2 k k k k d k x J x x dx k k       +  + − = − +       =    + +    ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 0 1 ! 1 2 k k k k k x k k     + −  + − = − +   =    + +    ( ) ( ) 2 1 0 ! 1 1 2 k k k x x k k    + −  = −   =    + − +    ( ) 1 x J x  =  − ( ) ( ) ( ) ' 1 1 x J x x J x x J x        − + = − ( ) ( ) ( ) ' 1 J x J x J x x     + = −

讨论： ①由递推公式相加或相减得： 2J,(x)=J-1(x)-J1(x) 2vJ(x)=x[J1(x)+J-(x] 可以发现只要给出Jc),J1x)就可以得到J2c),Jc),J4心)，. ②两个重要的结果 (x)=-J,(x,[x,(x]=(x) 由[(=内)令0得 J(x)=J(x)=-J,(x) 由么[（小=（令1得 [(]=()→05()5=W()

12 讨论： ① 由递推公式相加或相减得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1 1 1 1 2 2 J x J x J x J x x J x J x        − + + −  = −   = +      可以发现只要给出J0 (x), J1 (x)就可以得到J2 (x), J3 (x) ,J4 (x),. ② 两个重要的结果 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 0 1 1 0 J x J x xJ x xJ x = − = , .     ( ) ( ) 1 d x J x x J x dx       = −  由   令 = 0得： ( ) ( ) ( ) ' 0 1 1 J x J x J x = = − − ( ) ( ) 1 d x J x x J x dx       = −  由   令 = 1得： ( ) ( ) ' 1 0   xJ x xJ x =   ( ) ( ) 0 1 0 x    J d xJ x = 

CPo ③ （[.(=x( 证明： 一孟-四 (4四 进有改：(-=因 13

13 ③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n d J x J x xdx x x d x J x x J x xdx         + + − −         = −            =      ( ) ( ) 1 d J x J x dx x x     +     = −   证明： 由 ( ) ( ) 1 1 d J x J x xdx x x     + +     = −   ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 1 1 d d d J x J x J x dx xdx dx x x x       + + + +                  = − = −           ( ) ( ) ( ) n n n n d J x J x xdx x x     + +         = −     进行n次： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d J x J x xdx x x     + +         = −    

[x,(=x()→[(]=xr() &《a)(==产 aa(j-网 → （)[(=() 进行n次： （j以(= 在上式中，令v=2,n=1,得： 2 s nx 1 -cosx. xdx

14 ( ) ( ) 1 d x J x x J x dx     −   = 由   ( ) ( ) 1 1 d x J x x J x xdx     − −   =   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 d d d x J x x J x x J x dx xdx dx       − − − −            = =         ( ) ( ) n n n d x J x x J x xdx     − −       =     进行n次： ( ) ( ) 2 2 d d x J x x J x xdx xdx     − −          =       ( ) ( ) 2 2 2 d x J x x J x xdx     − −       =     在上式中，令 = ½，n = 1，得： ( ) 1 2 2 1 sin d x x J x xdx x  x −      =   ( ) 1 2 2 J x x cos . −  x =

So. 令v=h,n=n,得： Ga)-o sin x xdx (二)整数阶贝塞耳函数的母函数 w(zx)-e*) (0<z<∞) .-门

15 ( ) ( ) ( ) n n n n d J x J x xdx x x     + +         = −     由 令 = ½，n = n，得： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 sin n n n n J x d x xdx x x x  + +          = −     ( ) ( ) 1 2 1 2 2 sin n n n n d x J x x  xdx x + +     = −         （二）整数阶贝塞耳函数的母函数 ( ) ( ) 1 2 , , 0 x z z w z x e z     −   =    ( ) 2 2 0 0 1 1 , ! 2 ! 2 x x l n z z l n x x w z x e e z l n z   − = =         =  = −                      