《信号与系统》课程电子教案（PPT课件，西电版）第4章 连续系统的s域分析

4.1接善接斯变换信号与系统电子教紫双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在c的取值范围称为F,(s)的收敛域。下面举例说明F(s)收敛域的问题。例1因果信号f,(t)=eαtε(t)，求其拉普拉斯变换。e-(s-α)t-lime-(α-α)te-jo t解 Fit(s)=ee-stdt =-(s-α)>00αSjoRe[s] =α >αs-α:不定,L=α无界,<α0α可见，对于因果信号，仅当Re[s]=a>α时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界第5-6页

信号与系统 第5-6页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例1 因果信号f 1 (t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lime e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d ( ) j 0 ( ) 0 1 t t t s t t s t b s s F s t        − − − →  − −  − − − = − − = =  1 , Re[ ] s s        −  =   =     不定, = 无界, 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 α 收敛边 收敛域 界 双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb (s)的收敛域。 下面举例说明Fb (s)收敛域的问题

4.1拉善斯变换信号与系统电子教紫例2 反因果信号f,(t)= eβte(-t)，求其拉普拉斯变换解e-(s-β)16- lim e-(α-β)te-jo t1SF2b(s) =dtee-(s-β)80Bt→ -00无界Re[s]=o.> β10不定g=β?1a<β-(s-β)可见，对于反因果信号，仅当B0Re[s]=o<β时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。第5-7页

信号与系统 第5-7页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例2 反因果信号f 2 (t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lim e e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d 0 ( ) j ( ) 0 2 t t t s t s t t b s s F s t        − − − → − − − − − − − − − = − − = =          − − = =  =        ， 不定 ， 无界 ( ) 1 , Re[ ] . s s 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 β

4.1接善接斯变换信号与系统电子教业例3双边信号求其拉普拉斯变换3t<0f,(t)= fi(t)+ f(t)at>0e求其拉普拉斯变换解其双边拉普拉斯变换 F,(s)=Fbi(s)+Fb2(s)jo仅当β>α时，其收敛域为α<Re[s]<β的一个带状区域,βa0如图所示第5-8页

信号与系统 第5-8页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。      = + = e , 0 e , 0 ( ) ( ) ( ) 3 1 2 t t f t f t f t t t   求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 Fb (s)=Fb1(s)+Fb2(s) 仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域， 如图所示。 σ jω α 0 β

4.1接善接斯变换信号与系统电子教紫例4求下列信号的双边拉氏变换，fi(t)= e-3t g(t) + e-2t g(t)f,(t)= - e -3t g(-t) - e-2t g(-t)fs(t)= e -3t g(t) - e-2t g(- t)11解f(t)<←→F(s)Re[s]= >- 2s+3S+211f2(t)<←→ Fz(s)Re[s]= <- 3s+3s +211f(t)←→F(s)3<g<-2S+ 2s+3可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。第5-9页

信号与系统 第5-9页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f 1 (t)= e-3t (t) + e-2t (t) f 2 (t)= – e -3t (–t) – e -2t (–t) f 3 (t)= e -3t (t) – e -2t (– t) 解 2 1 3 1 ( ) ( ) 1 1 + + + → = s s f t F s Re[s]=  > – 2 2 1 3 1 ( ) ( ) 2 2 + + + → = s s f t F s Re[s]=  < – 3 2 1 3 1 ( ) ( ) 3 3 + + + → = s s f t F s – 3 <  < – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域

4.1接善接斯变换信号与系统电子教紫通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为F(s) = ( f(t)e-st dt称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>α，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换三、单边拉氏变换def简记为F(s)=[f(t)F(s) = ( f(t)e-st dtf(t)=f -1[F(s)]def或?0+10F(s)estds c(t)f(t)=2元f(t)<一→ F(s)o-1o第5-10页

信号与系统 第5-10页 ■ 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标 原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为   − − = 0 F(s) f (t)e dt st 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换   − − = 0 def F(s) f (t) e dt s t( ) e d ( ) 2 j 1 ( ) j j def f t F s s t s t           =  +  −  简记为F(s)=£[f(t)] f(t)=£ -1 [F(s)] 或 f(t)←→ F(s)