1.5.24根据复数相等的概念解方程. (a)sinx=ch4;b)sinx=√2； (c)co6x=2. 解：(a)sinx=sinxchy+icosxshy=ch4, 小￥=2元+变，y=±4或 sinx=ch4,y=0无解，舍去). ·=(2k+2)π±4ik=0,±1，±2，…). (b).sinz =sinxchy+icosxshy=2, x=2x+受y=-h2+1D,或 imx=2,y=0无解，舍去). =(2k+2)x-h2+D(k=0,±1，±2…). (c).cosz cosxchy-isinxshy=2, .x=2kπ，y=-n2+√3)，或 c0sx=2,y=0(无解，舍去). z=2kx-n2+√3)(k=0,±1，±2，…). 1.5.27 证明：shx=shxcosy+ichxsmny. 证：：右边-eaey+icoi6iny =i(cosixsiny-sinixcosy) isin (y-ix)=isin(i+iy) N龙e-fa-e2=g-e=hz, 21 等式成立. 1.5.25,1.5.26,1.5.28可类似证之. 1.5,29菲导公式：A:=m 证：0=hx=h丝=g-6 chze+e 11+0 Γ1-0’ =2n 1-0 ·Ahw=n品 1-w 即 Ah=2n兰 1+丝 1.5.30计算：(a)Arc tan2D: (b)Arc tan(1+ ·18·
(c)Arch(-1); (d)Arth (0). 解：0Aeam=-之1nt器 11-22 =(k+2》x+2加 (k=0,±1，±2，…) 心Aem1+=-n9 -(k+2》x-m2+hs (k=0,±1，±2，…)； o)Arh(-1)=Ln[-1+√/（-1)2-1] =2k+1)(=0,±1，±2，…)； ①Ath0=2ht8-k i(=0,±1，±2，…). ◆19·
第2章导 数 2.1内容要点 1.复变函数的极限和连续的概念 2.复变函数导数的概念和运算法则 定义1设(x)在包含0的某区域D内有定义，如果 lim f(z)-f(xo) 0 名-0 (,ED) 存在，那么我们说函数(x)在0可导（或可微），并称这个极限为函数地=f(z) 在0处的导数，记为f'(x).即 f '(zo)=lim f(z)-f(0) 0 艺-名0 GE D) 若记x=0+△x,则得到∫'(0)的另一种表达式 f(zo)=lim f(0+△x)-f(x) *0 △z 定理1函数(x)=弘(x,y)+i(x,y)在定义域内一点x=+y可导的 必要与充分条件是：u(x,y)和(x,y)在点(x,y)可徽，并且在该点满足柯西- 黎曼方程 =型， 3x-y’ 3.解析函数的概念、函数解析的必要与充分条件 定义2如果函数(x)不仅在0处可导，而且在0的某个邻域内的任一点 可导，则称f(x)在0解析.如果函数f(x)在区域D内任一点解析，则称f(x)在 区域D内解析. 定理2函数f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在其定义域D内解析的必要与充 分条件是：u(x,y)与如(x,y)在D内可微，并且满足柯西-黎曼方程 3私_0粒. 3x-ay’ 影器 4.解析函数与调和函数的关系，由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其 实部的方法 定理3设∫()=u(x,y)+iw(x,y)是区域D内的解析函数，那么h(x,y) ·20·
和(x,y)均为D内的调和函数。 由解析函数的实部（虚部）求其虚部（实部）的方法共有三种，见本章2.4的 例6. 5.初等函数的解析性 2.2教学要求和学习注意点 1.教学要求 了解复变函数的极限和连续的概念.理解复变函数的导数及复变函数解析 的概念，掌握复变函数解析的必要与充分条件.了解调和函数与解析函数的关 系，撑握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法，了解初等函数的解析性 重点：解析函数的概念，函数解析的必要与充分条件，已知解析函数的实 (虚)部求其表达式的方法，初等函数的解析性. 难点：函数解析的必要与充分条件的证明. 2.学习注意点 (1)下面题目的求解过程错在何处？ 题目：计算m这-1 i2+i 解：令x=iy,则 ix-1 lim =m1=0. 名+i-1iy+i 答：复函数求极限时，名·0表达的是在复平面上名以任何方式趋于0，它 与实平面上x,y)→(0'y0)的含义一样. 2)下面的解答错在何处？ 题目：求函数n+)的奇点. 解：此函数的奇点为z≤-1. 答：此解答错在“：≤-1”这个表达式上.复数域上的数是不分大小的.正确 的解答是：此函数的奇点为x=x≤一1. 3)(洛必达法则)若f(z)及g(z)在点0解析，且f(x0)=g(z0)=0,g(0) ≠0，试证： .f(z)f'(） lim %g红君(· f(z)-f(zo) 证： lim f() 名-0 f'(0） 。g(-g20=g(0)' 艺-0 结论成立. ◆21·
注意点：在使用此运算法则时，要注意结论成立的条件，特别是∫(x)= 8(x0)=0,g(x0)≠0的要求. 4)应用定理2判定函数解析时，需注意： 定理的条件缺一不可，仅有弘(x,y),(x,y)可微或仅有柯西-黎曼方程成 立都不能推出函数解析的结论. 例如：函数()==x-iy,虽然u(x,y)=x,x(x,y)=一y均可徽，但不 能由此推断f(x)的解析性.事实上， lim △r*0 品=四-8品 △ 此极限在△x沿△x=0趋于0时值为-1，在△x沿△y=0趋于0时值为1，故此 极限不存在，即函数(x)=z在整个复平面上不可导，不解析. 从定理方面来看，由于-1号-1，即有西-黎受方程是不成立的。 例如：证明函数f)=-士+：+ x2+2+i x2+y2 x≠0，f0)=0在原点满足柯西 -黎曼方程，但在原点不解析（提示：对m②沿不同方向求极限）。 *0 x2+20 x2+3y20 故由二元函数偏导数的定义得： =im=0-1,2-m-0-1, 3xx*0x-0 *0x-0 器=州1器典81 ·柯西-黎曼方程在原点成立 而i ②)0当：沿y=0趋于原点时的极限为1+i,沿y=x趋于原点时 *0名-0 的极限为1生，故)在原点不可寻，不解析. 此题说明在使用函数解析的判定定理2时，仅有柯西一黎曼方程成立是不 够的，一定还要有u,可徽. 6)应用定理1判定函数不可导时，应注意下面所叙述的情况. ①避免出现类似于如下解题过程的错误. 例如：讨论函数f(z)=x2y+2iy的可导性. 解：八昌 业=2y≠ay 丝=2： . 函数f(z)=x2y+2iy在复平面上处处不可导. 答：此题的结论是对的，但结论成立的原因是错的.因为： ·22·