首先，当可=1时器-是成立的. 其次，由2费-影-2与2-号-器=0知相西-黎曼方程的两部 分不能同时成立，从而推出结论. ②下面的解题推导过程是正确的， 例如：讨论函数(x)=2y的可导性 解： . 函数f()=2y在复平面上处处不可导. 答：此结论的推寻过程是正确的，因为号器，号在复平面上在何一点都成 立，不论柯西-黎曼方程的另一部分成立与否，还是u(x,y),x(x,y)可微与否， 定理1关于函数可导的必要与充分条件都不成立，故函数f(x)=2y在复平面 上处处不可导. (6)下面的题目用两种解法得到的结果为什么不一样呢？ x3y(r-ix) 题目：求函数w= x3+y2,x≠0 的导数如(0). ,名=0 xy(y-ix) 0 解法一：im 地(z)-w(0) 名-0 =limx+y2 0 +y*0 第+iy lim -ix3y +0x3+y2 x=rcos6 Y=r血6 lim(-i)1'cos 0sin 0 rcos 0+sin0 =0, .d(0)=0. 解法二：因为w0- .3y + 3￥0,0 F3x0,0 ,而 33x2y4 3)2 在0,0)处无意义，所以d(0)不存在. 答：第一种解法是正确的，第二种解法因函数在￥=0处可导，故柯西-黎 曼方程成立，u(x,y),u(x,y)可徽.(x,y)与(x,y)可微则(x,y)与(x,y)偏 导存在，但偏导末必连续，只有偏导连续时，才可先求偏寻器再代入点①，0. )下面的证明过程哪个地方出问题了？ ·23·
题目：证明函数五(x,y)=x2-y2为调和函数. 证：hz+五y=2-2=0, .五(x,y)为调和函数 答：此证明的问题出在推导结论的条件不够充分，依据调和函数的定义，还 需说明五(x,y)具有连续的二阶偏导，这一点在做题时常常被遗忘. 2.3释疑解难 1.设x=x+iy,证明：m2x+iy2)=4i. 证：因为I2x+y2-4il≤21x|+1y2-41=21x1+1y-21川y+21,所以若 能找到正数6，使得0<1x-2l<6时，有 21x1<是，y-2Ily+21<号， 则可推出结论 我们观察，当1y-21<1时，有 Iy+21≤Iy-21+4<5, 从而在1y-21<mim品1时， 1y-2Ily+21<05<号 再观察图1.2.1中，在1x1<是，1y-21< min -I mm{品1小的带形域中，6只好取号和m血{品小中 25 的较小者，即=血小.从而，对任意给定的e >0,存在正数分=mim品1小，当0<1-2i1<分时， 图1.2.1 12x +iy2-4il <e 成立，即m2x+iy2)=4i. 2.证明当，不取到负半实轴和原点时有： lim argz argzo. 证：设x=x+iy,0=x0+iyo:w=corg2,则 argz arccosw arccos- (0≤arg艺≤x）, x2+y 0 argzo=arccos √始+娟 ·24·
第0 √始+垢 lim arccos 0 =arccos Vx2+y2 √号+ 即 lim argz argzo. *6 当-π<agx≤0时， rg之=-arCc0s √x2+y2 同理可得： lim argz argzo- *6 3.证明：设函数f(z)在0连续且f()≠0，那么可以找到0的一个小邻 域，在这个邻域内f(z)≠0. 证：imf(z)=f(o), ..Jim lf(z)I=If (zo)1, . 对e>0,38,当1x-0l<8时， Ilf(z)I-lf(xo)I川<e 成立. .当取e=1f(0)1>0时，361，当1x-0<81时， Ilf()I-If(zo)11<If (oI 成立，即 0<lf(z)1<2lf(0)1, 当|x-0l<61时，f(x)≠0. 故结论成立. 4.证明：f(x)在0处可导的必要与充分条件是：f(0+△z)-(0)=A·△x +o(I△xI),其中A=a+ib,o(I△xI)为比I△x高阶的无穷小. 证：必要条件 设f(z)在o处的导数为∫'(0)，则 lim fn+△）=fw-f:). △x .对Ve>0,36>0,当0<1△zl<8时， |80--e, ·25·
lf+△）-f-f'Cw△L<e, I△xI lfo+△）-fw)-fo△l=0, I△xl f(x0+△x)-f(xo)=f'(x)△x+o(I△xl). 充分条件 f(x+△x)-f(x0)=A△x+o(I△x), f+△）-fw0=A, △ (z)在0处可导. 5.证明用极坐标表达的柯西-黎曼方程 3u13m 321∂ 3r=r38'a,=-y381 证： =弘.g+2=c069+m6 ar=3x'ar +ay ar ay (1) 3x 器-器+务器 +r cos0 地 2) ay' 2=g型，兰+2，=cos82+im92, (3) ar ax ar'ay ar ax ay 3型-a型.丝+型.=-rm9 a8-3x^a日+aya日 型+rcos8 32 (4 y 利用整器器：器 比较上面的式(1①)与式④、式②)与式3)，即得极坐标 形式的柯西-黎曼方程： 34-13型 ar ra0' =-1监 ar r38 6.设f(z)=u(x,y)+iw(x,y),并且u,偏导存在.求证：对f(x)柯西- 黎曼方程条件可写成 f_+i 3z-3Σ 8位二0： 证：》=生，2)=(，2) 2 弘。1， 8z 361 1 3 1一2i 2 =+) 2=2ax 1 ·26·
-+-+++》 =-++》 ：刺西-黎曼方程器号号=器成立等价于影=0， ax=ay'ay 7.若(x)在上半复平面内解析，试证函数②)在下半复平面内解析. 证：f(z)=弘(x,y)+iw(x,y) (y>0)解析， -器- 3x-3y (y>0D a(-2 ay (y<0), 型_--（-y u (y>0), ax ay =融=-》 3y-3x 3x (y<0, .u(x,y),(x,y)在y<0时柯西-黎曼方程成立. 又：u(,y),(x,y)在y>0和y<0时均可微。 ∴. f()=u(x,y)-iw(x,y)在y<0(下半平面内)时解析. 8.证明若是u在D内的共轭调和函数，那么在D内的共轭调和函数 是一h. 证：y为u的共辄调和函数， 3u 32 3u a2 2-D,地=-D ax ay 一u为的共轭调和函数. 2.4典型例题 例1 计算mn令-1 ◆m 解：me-10=立lmw(ed-1) w-*0 当0=私+i沿私轴正半实轴趋于0时，mw(e品-1)=0.当w沿u轴负 半实轴趋于0时，imw(e-1)-0,故mmw(e-1)的极限值不存在，即mng-1 ◆0 m岁 的极限值不存在. 例2讨论下面函数的可导性、解析性. ·27·