·结论成立。 1.1.9证明：√21xl≥1Re(x)1+1m(z)1. 证：x2+y2≥21x1川yl, .2(x2+y2)≥x2+21x川yl+y2, 21z2≥(1xl+1y1)2, .√2lzl≥lRe(z)1+lm(z)I. 1.1.10证明：当2：3为非零复数时， (a) 立 11l ) 1 2 121 2x3-1z2l131 证：(a) 1 1 .Izl 2 2 2 1 1 2-iy2 2 x+iy? 好+y妇 2 2 =+y} ++经 Iǎ山 2=121 (b) 1名11 23 12名=1211 1.1.11 证明：当1x3≠1z4时，不等式 1+立 1x1+12 +1-1 成立 证： 1+ǎ2_1名1+2l1ǎ1+121 +-i+wa-1 1.1.12证明：当1x1<1时，m(1-z+x2)|<3. 证：|mú-z+z2)|=|m1-x+iy+x2-y2+2yD| =1y+2yl≤lyl+21x1川yl≤3(Ix|<1). 1.1.15 证明：以0为中心，R为半径的圆的方程Ix-o|=R可以写成： 1x12-2Re(z)+1x012=R2. 证：1名-012=(x-0)(z-0)=(x-0)(2-) =况一02一80十00 =1z2-(80名+0)+1012 =1x12-2Re(远0)+1012， .以0为心，R为半径的圆的方程可以写为： 1x12-2Re(z)+1x012=R2. 1.1.16证明：双曲线x2-y2=1可以写成z2+2=2 ·8·
正--（到-(2到 -2++2a+2+子-2运 2+2 2 双曲线x2-y2=1可以写为：2+2=2. 1.1.18就以下各种情况，分别求rgx. (a)x= -2 1+√3i ⑥x=-2-2公 @)=（3-) 解：（x=-2=-1+3, 1+3-2+ 2 ."argz 2x 3 i .argz ()x=(3-D6=25e6(-i+2), .arg之=π. 1.1.19利用复数的三角表达式或指数表达式证明： (a)(-1+i)7=-8(1+D;)(1+3D-0=2-1(-1+3D. 证：(a)(-1+)7=27e7(经+2k)=27e-4d =-8(1+D: )1+V3-10=2-10e(5+2(-1m=2-10e是冠 =2-1(-1+w3D. 1.1.20 证明：(a1e01=1;6)e6=e~0; (⊙e91…e0。=e,+…+6)(n=2,3,…). 证：(a)Ie01=lcos0+isin91=1; (b)ei =cos0-ising=cos(-0)+isin(-0)=ei; (c):e明e02=e8,+2). 设e识…e0。-1=e8,+…+0。-2,则 e0…e0。=(e识，…e9。-)e0。 =eg,+…+。-e0. =68,+…+6〉， e明，…e9.=e0,+…+8〉(n=2,3,. ·9
1.1.21当名1≠0时，求Argx. (a8=h(n=1,2,…);b)z=1 解：(a)名==(r1e8,)=e, .'Argz nArgz1; )x=x11=(r1e)-1=r1lei8, .'Argz =-Argz1. 1.1.22 证明：若Re(x1）>0,Re(x2)>0,那么rg(12》=rg1+r吧2 证：Re(x1)>0,Re(x2)>0, 1-受<1<受-<g<受， 一π<rg名1+rg2<π： '.ag（名1z2）=arg1+arg2 1.1.23若12≠0，证明：Re(x1z2)=111川2|当且仅当 1-02=2kπ(k=0,±1，±2，…)， 这里81=Ag1,82=Ag2 证：设x1=y1e0,2=2e,则 Re(x1z2)=Re(r1r2e8-)=r1r2cos(81-02), |x1l川z2l=r2: .当Re(x1z2)=1x1l川x2l时， cos(81-82)=1, 即 81-日2=2π(k=0,±1，±2，…). 反之，当91-02=2kπ时， Re (z1)=1z1. .结论成立。 1.2.1求下面各复数的所有的方根、单根，并说明几何意义. (a2)2; )1-√3)2： (。(-1D3: ①(-16)： e)8哈： (0（-42+42分3. 解：(a所有的方根：2)立=Qe+22 =√2e(k+) (k=0,±1，±2，…). 单根：√2e,2e」 几何意义：半径2的圆的直径的两端点. )所有的方根：(1-3)2=√2(e+2)克 ·10·
=N2e(k-8)冠(k=0,±1，±2，…). 单根：V2e~,N2e话」 几何意义：半径为√2的圆的直径的两端点 (o)所有的方根：（-1)}=ea+2d =e3ak+0d(k=0,±1，±2，…). 单根：e,e,e 几何意义：单位圆内接等边三角形的三个顶点 (d所有的方根：(-16)4=2e4i+2k0 =2e4Qk+Di(k=0,±1，±2，…). 单根：2e,2e,2e,2e 几何意义：半径为2的圆内接正四边形的四个顶点. (e)所有的方根：86=(8e2言 =2e(k=0,±1，±2，…). 单根：√22e,2e,N2e,N2e,w2e」 几何意义：半径为√2的圆内接正六边形的六个顶点. 0所有的方根：(-4√2+4√2)3=2e3+2 =2e(4+)冠=0，±1，±2，…. 单根：2e,2e,2e贤」 几何意义：半径为2的圆内接等边三角形的三个顶点. 1.2.2(a)令a为实数，证明：a+i的二次方根为±√Ae2,这里A= √a2+1且a=rg(a+D. b)由(a)及 ）-1+2(）-1， 证明：±e-±v+a+i√-a). 证：”a+D克-（√a+1)。-±a, (A=√a2+1,a=arga+D）, .结论成立 ):±VA登=±Vaoe受+i6in受)，sa=片
/1+c08g 2=±√ A+a 2 2A sin 2=± 1-cosa A-4 2 =±N2A 从±yae±va+a+i√A-a). 1.2.3(a)证明：二次方程az2+z+c=0(a≠0)当a,b,c为复常数时的 求根公式是 x=二b+62-4匹， 2a 这里62-4ac≠0. 0)试用()的结果求方程2+2x+(1-D=0的根. 证：(a）a2+z+c=0, .4a22+4abx+4ac=0, .2ax+)2=62-4ac, ÷名=二B+B2-4@匹 2a (32-4ac≠0). 0b)方程2+2x+(1-D=0的根为 x=-2+44=五_-1+i=-1+e(+)石g=0,1D. 2 1.2.4设x为非零复数，m=-n(n为负整数)，利用x=re0证明： (m)1=(x)m. 证：w)-1-[G9*]1=[-1=(d)'=产e =e9=(2=s) 1.2.5建立恒等式1++2+…+g-1 1-x (x≠1)，并导出 1+co60+co20+…+co68=1+imn+之)8 2 (0<8<2π). 2smn 2 提示：关于第一个等式可记S=1+x+2+…+x,并考虑S-8.关于第 二个等式可在第一个等式中令x=é诏. 证：设S=1+x+2+…+,则 S-8=1-x+1, 即 ·12·