答： -r<r笔12≤π ag122= 品是铅误的。 正确答案：由Ag12=-五x+2k,得 7 ag42=-12- ④证明：Ln)=(k+)i=2mi(k=0,±1，±2，…)： b)Ln2≠2Li. 证：(a)Ln(G2)=iarg位)+2ki [（2x+不)五， l(2x-: =（π+年) 2i=2{经+2动i=(k+4》 n的=2i(=0,±1，±2，…). b):Ln=Ln(-1)=2k+1)i, 2Li=2交+2kxi=4k+1Di, .Ln2≠2Li. 1.3释疑解难 1.复方程2+如+c=0(a≠0的求根公式z=-6+2-4匹中62- 2a 4ac为什么要求不等于0. 答：因为关于复数方根0=xa(即=z)的定义中要求w≠0，若：=0必有 0=0.而√2-4ac为复数方根的形式，因此公式中2-4ac≠0. 事实上，因为 az2+bz+c=0, 所以 (++20 4a2 若2-4ac=0,则 ·3·
= 2a 2.证明：0若hx=hr+i>0,年<8<是x,那么 Ini=2lni; 若h:=lmr+i0(>0子x<g<,那么 n≠2ni. 证：(ai2=n(-1)=i, 2i=2hlil+受到= '.ni2=2mi. b)ni2=n(-1)=i, 2i l)5i ..ni2≠2ni. 由()、①b)可知，辐角主值的定义范围可由复平面上原点引出的任一条射线 为起始边、终边来划分，随之相关的性质也可能发生变化. 3.证明：对任何非零复数1和2 h(a1z2)=nz1+nz2+2kd(k=0,±1). 证：因为当Re(x1)>0,Re(x2)>0时， n(a1x2)=nx1+n2+2ki(k=0). 当Re(x1)>0或Re(x2)>0时， 「rg1+g2' |rg21+rg22|≤π1 a12）-g1+鸣a±2，lag1+ag2l>不. Il z1z21=Inlzl+Ilzl, n(x12)=nx1+nx2+2kd(k=0,±1). 当Re(x1)<0且Re(x2)<0时， 「rg名1+吧2 |arg21+rg22≤π： ag(名12）= arg1+ag±2π，|arg1+arg2|>元. Inlz1z21 =Inlz1l +Inlz2l, h(x1x2)=n1+nx2+2k(k=0,±1). 综上所述，对任何非零复数名1和2都有 n(x1x2)=nx1+nx2+2ki(k=0,±1). 4.求证：三个复数1,2,3成为等边三角形顶点的必要与充分条件是： 好+经+行=1迎+边的+的刘 证：三角形12是等边三角形的必要与充分条件为：向量12绕“1旋转 4
文或-文得向量1，即4-1=(2-)e+或 =马± 2 两边平方化简得结论. 1.4典型例题 例1将复数21化为三角表示式和指数表示式。 -1+i 解： 2五 -i+11-iI1-i=v2,g1-D=-开， 的三角表示武为：2心引+n(》, 的指数表示式为：反e示. 例2若1+D=1-)”,试求n的值. 解：由(1+Dn=(-)n可得： 2(cwF+6in平）=2(ce平+sin一）， 即 in平-sn二 4® 今=-+2k 则得 n=4居(k为整数). 例3判断m(x)=1是否为区域？ 答：点集{xlIm(x)=1}不是区域.因为此点集的每一个点都不是内点，依照 区域的定义知其不是区域 例4判断m(z)≥0是开区域还是闭区域，有界否？ 答：依平面点集部分有关开区域、闭区域、有界集和无界集的概念，m(x)>0 为无界的开区域，Im(z)=0为m(x)>0的边界，故m(x)≥0为无界的闭区域. 例5如果复数a+ib是实系数方程a0x”+a1-1+…+aa-1x+an=0的 根，那么a-ib也是它的根. 证：因为 a(2)n+a1@)n-1+…+a-1z+a =a0(2）+a1(2-)+…+a-12+an =a02+a121++aa-1这+a =aoz"+a++an-1z+an =0, 5·
所以，若x=a+ib为上述方程的根，则其共轭复数z=a-ib也为方程的根. 例6为什么在复数范围内lcozI≤1，I sinzl≤1未必总成立？ 答：设x=x+iy,则 cosz cosxchy-isinxshy, I coszI=v (cosxchy)2+(sinxshy)2 =v(1+sh2y)cos2x+sin2xsh2y =vcos x +sh2y. 当hy>1时，有1cosx|>1;当y+6o时，|cosz|+o.所以，1cosx|≤1未必 总成立.同理Isinzl≤1也未必总成立. 例7证明：若x在圆周1x1=2上，那么 1 1 4-42+3≤3 证：1-42+3引≥14-41-3≥11-1421-3-3， 1.1 4-4x2+3s3 例8求(-√2+√2)的所有的根、单根，并说明几何意义. 解：所有的方根：(-2+v2》片=(2e4+24树)宁 =迈。（学+）和(k=0,±1，±2，). 单根：2e,32e世，2e贤」 几何意义：半径为2的圆内接等边三角形的三个顶点. 1.5习题选解 1.1.4证明：(a) 1-1.1 (x1≠0,2≠0)； 1212 )1=立. 3434 (3≠0,4≠0). 证： =,1=之 批22 11 . 0(》女 经-号》-会 的4 1.1.5证明：1+)”=c好始，其中2为任意的复数，n为正 整数. ·6·
证：当n=1时，等式显然成立 设n=m时，(1+n=之c-线成立，则 当n=m+1时， a+》1-a+c好分 =月c培+c7-站 -1+艺c*岁1+艺c塔1+1 =1+C*1+c的结1+1 =1+觉c分1+ k=0 + C城1+-"效+经+1 =1 C1+1-效. 故结论成立 1.1.7证明：()+3i=x-3i;)iz=-这；(c)2+D2=3-4i; (D12z+5)62-D1=N312x+51. 证：()z+3i=z+3i=x-3i; b)i这=i·=-z; (c)2+)2=(2+i)2=2-i)2=3-4i: (d)12短+5)(W2-)1=W2-i1I2z+51=312z+51=√312x+51. 1.1.8应用数学归纳法证明：当n=2,3,…时， (a)1+2+…+2n=1+2+"+n; b)12"名=12"2… 证：(a)名1+2=1+2 设名1+2+…+8物=名+2+…+云，而 1+2+"+m+xm+1=1+2+"+m+xm+1 =名1+2+…+n十xm+1 ·.结论成立 ) 名12=1‘82 设12…名n=2…如，而 1z2“名m”m+1=1z2"mn+1=x12"m”xm+1 ◆7