还可以证明： RRn2r网s对 1 =0 1 VR2-2rR+r2 -2,器 )(>R) 利用母函数计算 ①P(1)=1 →，20 ②P(-1)=(-1 -2(-r, x=-1,今1+r 2-y-2,→-0(-y, 11
11 还可以证明： ( ) ( ) 1 2 2 0 1 , 2 l l l l R P x r R R rR r r + = = − + ( ) ( ) 1 2 2 0 1 , 2 l l l l r P x r R R rR r R + = = − + 利用母函数计算： ( ) ( ) 2 0 1 1 . 1 2 l l l l P x r r r r = = − + ( ) 0 1 1, 1 , 1 l l l x P r r = = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 , 1 . l l l l l l l r P r P l = = − = − − = − ① Pl (1) = 1 ② Pl ( -1) = ( -1)l ( ) 0 1 1, 1 , 1 l l l x P r r = = − = − +
0 (1=2n+1, n=0,1,2,.） ③P(0)=-(2my 2() (1=2n, n=0,1,2.） =时，-2(oy *+:奶 +小* 子（片 （-）'13.(2n-2m严_（）(2my 2"n(2n)H 22"(n)2 12
12 ③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1, 0,1,2, 0 2 ! 2 , 0,1,2, 2 ! n l n l n n P n l n n n = + = = − = = x = 0时， ( ) 2 0 1 0 1 l l l P r r = = + ( ) 1 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1! 2 2! 2 2 r r r − + = + − + − − − + 1 1 1 1 2 1 1 , ! 2 2 2 n n r n + − − − − − + + 2 1 1 1 1 1 1 ! 2 2 2 n a n n = − − − − − + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 2 !! 2 ! , 2 ! 2 !! 2 ! n n n n n n n n n n − − − = =
0-,20 比较系数得： 0B)! (=0,12, 22"(n)1 二、递推公式 (I+1)P41(x)-(21+1)x(x)+P(x)=0: P(x)=P(x)-2xP(x)+P(x). 证明： 72y0 1-2x+2r 方程两边对求导，得： 2(-2x+r月 =∑P(x)r 13
13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 0 0 2 ! 1 0 2 ! n n l l n n l n r r P r n − = = − + = = 比较系数得： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 ! 0, 0,1,2, . 2 ! n n n n n P P n n + − = = = 二、递推公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 0; l l l l P x l xP x lP x + − + + = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 1 1 2 . P x P x xP x P x l l l l = − + + − 证明： ( ) ( ) 2 0 1 1 . 1 2 l l l l P x r r rx r = = − + 方程两边对r求导，得: ( ) ( ) 1 3 2 0 2 1 2 2 , 2 1 2 l l l x r lP x r rx r − = − + − = − +
x-r 1= -2r(y-1-2a+2P( 比较r项的系数， x(x)-P-(x)=(+1)R(x)-2x(x)+(I-1)P.(x), (+)P+(x)-(2I+)x(x)+P-(x)=0 方程两边对x求导，得： y -2r P(x)=P4(x)-2x(x)+P(x) r2P(r=1-2n+r)2r(r, 14
14 ( ) ( ) 1 2 2 0 1 , 1 2 1 2 l l l x r lP x r rx r rx r − = − = − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 1 2 , l l l l l l x r P x r rx r lP x r − = = − = − + 比较 r l 项的系数， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 , l l l l l xP x P x l P x xlP x l P x − = + − + − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 0 l l l l P x l xP x lP x + − + + = + − 方程两边对x求导，得: ( ) ( ) ' 3 2 0 2 1 2 , 2 1 2 l l l r P x r rx r = − − = − + ( ) ( ) ( ) 2 ' 0 0 1 2 , l l l l l l r P x r rx r P x r = = = − + 比较 r l +1 项的系数， ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 1 1 2 . P x P x xP x P x l l l l = − + + −
三、微分表达式 P)&(-y 罗巨格公式 证明(e2-旷=x+)x+-+ 2 ,心-少-y k! 2-9g-y =+20-t0-(-a =(广4 七21-2% k:(I-k)！ 15
15 三、微分表达式 ( ) ( ) 1 2 1 2 ! l l l l l d P x x l dx = − 罗巨格公式 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1! 2! l l l l l l l x x x x − − − − = + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ! k l l k l l l k x k − − − + + − + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ! l k l l k k l l l k x x k − = − − + = + − ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ! ! ! l k l l k k l l l k l k x x k l k − = − − + − = + − − ( ) ( ) 2 2 0 ! ! ! k l l k k l x k l k − = − = −