11.2勒让德多项式德基本知识 Pd-2-fz42 (2I-2k): 1-2k,N= 2 (1=偶) ,(0=奇) 1=0,k=0:(x)=1, P(cos0)=1; 1=1,k=0:P(x)=x, P(cos0)=cos0; 1=2,k=0,1:P(x)=,(3x2-1),B(cos0)=（30s29+1)月 1=3.k=0,1:B()=2(5x3-3xyB(eos9)=（5cos30+3cos0)月 1=4,k=01,2:P(x)=s（35x-30x2+3, P(c0s8)=64(35cos49+20cs29+9月 . 可以发现： ()=1,()=1,B()=1,R(1)=1,P(=1,→P()=1 6
6 §11.2 勒让德多项式德基本知识 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 ! 2 , 2 ! ! 2 ! 1 , 2 N k l k l l k l l l k P x x N k l k l k l l − = = − == − = − − − = ， 偶 奇 ( ) ( ) 0 0 l k P x P = = = = 0, 0: 1, cos 1; ( ) ( ) 1 0 l k P x x P = = = = 1, 0: , cos cos ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2, 0,1: 3 1 , cos 3cos2 1 ; 2 4 l k P x x P = = = − = + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 3, 0,1: 5 3 , cos 5cos3 3cos ; 2 8 l k P x x x P = = = − = + ( ) ( ) 4 2 4 1 4, 0,1,2 : 35 30 3 , 8 l k P x x x = = = − + ( ) ( ) 4 1 cos 35cos4 20cos2 9 ; 64 P = + + 可以发现： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 4 P P P P P 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, , = = = = = (1 1 ) Pl =
P(-1)=1,P(-1)=-1,P(-1)=1,(-1)=-1,P(-1)=1,., →(-1)=(-1) P(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 0.00.1 0.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0"x(cos0)
7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 4 P P P P P − = − = − − = − = − − = 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, , ( 1 1 ) ( ) l Pl − = − 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P6 P6 P5 P5 P4 P4 P3 P3 P3 P2 P1 P2 P x l ( ) x(cos )
一、母函数（生成函数） 母函数w(x,）=-2r+7 从物理上看，单位球的北极放置 一电量为46。的点电荷，球内的 电势为：w(x,r)= 0 √1-2x+r2 4πe。 U= 4π6。d 4π6。V1-2rc0s0+r2 √1-2x+r2 球内电势满足拉氏方程：△u=0. -玄4ro-宫r因→n -2(四 8
8 x y z d M o 4 o r 1 一、母函数（生成函数） 母函数 ( ) 2 1 , 1 2 w x r rx r = − + 从物理上看，单位球的北极放置 一电量为 的点电荷，球内的 ( ) 2 1 , 1 2 w x r rx r = − + 电势为： 4 o 2 4 4 4 1 2 cos o o o q u d r r = = − + 2 1 . 1 2rx r = − + 球内电势u满足拉氏方程：u = 0. ( ) ( ) 0 0 cos l l l l l l l l u A r P A r P x = = = = ( ) 2 0 1 1 2 l l l l A r P x rx r = = − +
x=1,→ ),24r (r<) 2-24w 1-r (r<1), A=1. V1-2x+r2 2 (r<1) 上式表明w(x,)=h-2+r 在r=0邻域作泰勒展开时，其展开 系数即为阶勒让德函数，故称之为勒让德的母函数。 (2)1 我们曾取c,= 2'(1g2 ,把Px)写成 (2I-2k)I 2'k:(I-k)(1-2k)月 的原因也是在此 9
9 x = 1， ( ) 2 0 1 1 1 2 l l l l A r P r r = = − + ( ) 0 1 1 , 1 l l l A r r r = = − ( ) 0 0 1 1 , 1 l l l l l r A r r r = = = = − 1. Al = ( ) ( ) 2 0 1 1 . 1 2 l l l P x r r rx r = = − + 上式表明 ( ) 2 在r = 0邻域作泰勒展开时，其展开 1 , 1 2 w x r rx r = − + 系数即为l 阶勒让德函数，故称之为勒让德的母函数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 ! 2 ! ! 2 ! l k l k l l k l k P x x k l k l k − = − == − − − ( ) ( ) 2 2 ! 2 ! l l l c l 我们曾取 = ，把Pl (x)写成 的原因也是在此
利用泰勒限开的系数计算公式。(，小：-心a() 10' →4= 1!or1-2rx+r0 a()-2+7 =1=P(x) 1∂ 1 1-2x+2r a(-2m+7.2(-2m+r月 =x=P(x) 可以得到：a(x)=P(x): 可以运用：r (>) r>1, V1-2x+r2 10
10 利用泰勒展开的系数计算公式： ( ) ( ) 2 0 1 , . 1 2 l l l w x r a x r rx r = = = − + 2 0 1 1 . ! 1 2 l l l r a l r rx r = = − + ( ) ( ) 0 0 2 0 1 1 1 2 r a x P x rx r = = = = − + ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 2 0 2 0 1 1 1 2 2 1! 2 1 2 r 1 2 r x r a x x P x r rx r rx r = = − + = = − = = − + − + . 可以得到： ( ) ( ). l l a x P x = 可以证明： ( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 . 1 2 l l l P x r r rx r + = = − + r 1, ( ) ( ) 1 1 1 2 0 0 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 r r l l l l l P x P x r r r rx r r x r r + = = = = = − + − +