问题：对于给定的单参数曲线族Φ(x, y,c)= 0其cEI是参数如何判断它是否有包络？如果有包络，如何求？根据定义，假设该单参数曲线族有包络l，则对任意的导(x,y)el.(x,y)el,存在唯一的 E l,使得于是得到对应关系c:1>1,(x,y)c(x,y)A1教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上一真结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 问题:对于给定的单参数曲线族: (x, y,c) = 0 其c I是参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的 (x, y)l, 存在唯一的 c I, 使得 ( , ) . c x y l 于是得到对应关系: c : l → I, (x, y) c(x, y)
从而得到二元函数c=c(x,y),(x,y)El使得D(x, y,c(x, y) = 0, (x, y) e l.若1可用参数形式表示为：x=p(t),te(α,β)y=y(t),记 c = c(p(t), y(t)) = c(t),则Φ(g(t), y(t),c(t) = 0,t e (α, β)dcdpdy于是，=0.Φ+Φ+Φx1dtdtdtA二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 从而得到二元函数 c = c(x, y), (x, y) l 使得 (x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l. 若 l 可用参数形式表示为: ( , ) ( ), ( ), = = t y t x t 记 c = c((t),(t)) c(t), 则 ((t),(t), c(t)) 0, t (, ) 于是, + + 0. dt dc dt d dt d x y c
现在l上任取一个固定点M，则M在某一条曲线l。上，由于[与1。在M点有相同的切线，而1与。在M点的切线的斜率ddy分别为与所以，有ddxTdpdyd+Φ=0x1dtdt从而一0d三C一由于在1上不同的点也在不同的l。上，即因此+0Φ=0.A二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 c l 上. 由于 l 与 c l 在M点有相同的切线, 而 l 与 c l 在M点的切线的斜率 分别为 dx dy 与 , y x − 所以, 有 从而 0. dt dc c + 0, dt d dt d x y 由于在 l 上不同的点也在不同的 c l 上, 即 0, dt dc 因此 0. c 现在
因此，包络线Φ(x, y,c) = 0任意一点M不仅要满足Φ.(x,y,c)=0而且还要满足把联立方程组：d(x, y,c) = 0Φ.(x,y,c)=0中消去参数c得到的方程F(x,y)-0所表示的曲线1*称为曲线族(1。)el 的c-判别曲线A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 因此, 包络线 l 任意一点M不仅要满足 (x, y,c) = 0, 而且还要满足 (x, y,c) = 0. c 把联立方程组: = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y c x y c c 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l * 称为曲线族 c c I l 的c-判别曲线