P(A)=P(H)P(A|H)+P(H2)P(AH2)+P(H3)P(AH3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.45836.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A），10%（事件A2)，90%（事件A3）的概率分别为P(A)=0.8，P（A2)=0.15P(A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P(Ai|B)P(A2B),P(A3|B）（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）：B表取得三件好物品。B=AB+A2B+A3B三种情况互斥由全概率公式，有.P (B)=P(A1)P(B|Ai)+P(A2)P (B|A2)+P (A3)P(B43)=0.8×(0.98)*+0.15×(0.9)*+0.05×(0.1)*=0.8624P(4,B)_ P(A)P(B|A,)_ 0.8×(0.98)3P(A, IB)==0.8731P(B)P(B)0.8624P(4,B)_P(4)P(BI4)_ 0.15×(0.9)=0.1268P(A2 [B)=P(B)P(B)0.86240.05 ×(0.1)3P(A,B)_P(A,)P(B|A)_=0.0001P(A, |B)=P(B)P(B)0.862437.[三十四】将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1一α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为pi,p2,p3(pi+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，间输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(B)=Pi,i=1,2,3。再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有P(Aα|A发)=P(B|B发)=P(C|C发)=α
P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458 36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏 2%（这一事件记 为 A1），10%（事件 A2），90%（事件 A3）的概率分别为 P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为 B），试分 别求 P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件 的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地） ∵ B 表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥 由全概率公式，有 ∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624 0.0001 0.8624 0.05 (0.1) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 0.1268 0.8624 0.15 (0.9) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 0.8731 0.8624 0.8 (0.98) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 1 1 1 1 = = = = = = = = = = = = P B P A P B A P B P A B P A B P B P A P B A P B P A B P A B P B P A P B A P B P A B P A B 37.[三十四] 将 A，B，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输 出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串 AAAA，BBBB，CCCC 之一输入信道， 输入 AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为 ABCA，问 输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。） 解：设 D 表示输出信号为 ABCA，B1、B2、B3 分别表示输入信号为 AAAA，BBBB， CCCC，则 B1、B2、B3 为一完备事件组，且 P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。 再设 A 发、A 收分别表示发出、接收字母 A，其余类推，依题意有 P (A 收| A 发)= P (B 收| B 发)= P (C 收| C 发)=α
1-αP(A效|B发)=P(A收|C发)=P(B收|A发)=P(B收|C发)=P(C收[A发)=P(C收|B发)=2又P(ABCA|AAAA)=P(D|Bi)=P(Aα|A发)P(Bα|A)P(Cα|A复)P(A收|A发)-α)2=α2(21-α）同样可得P(D|B2)=P(D|B3)=α·(于是由全概率公式，得3P(D)=Z P(B,)P(DIB,)i=l= pla2(1=α) +(P + P)α(一=α)32由Bayes公式，得P(B,)P(D|B,)P(4AA|ABCA)=P(B:|D)=P(D)2αP福2α P +(1-α)(P2 + P)[二十九】设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，BI、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1）记C=（至少有一只蓝球）C=AB+AB2+AB+A2B+AB1，5种情况互斥由概率有限可加性，得
P (A 收| B 发)= P (A 收| C 发)= P (B 收| A 发)= P (B 收| C 发)= P (C 收| A 发)= P (C 收| B 发)= 2 1−α 又 P (ABCA|AAAA)= P (D| B 1) =P (A 收| A 发) P (B 收| A 发) P (C 收| A 发) P (A 收| A 发) = 2 2 ) 2 1 ( α α − ， 同样可得 P (D| B 2) =P (D| B 3) = 3 ) 2 1 ( α α − 于是由全概率公式，得 3 2 3 2 2 1 3 1 ) 2 1 ) ( ) ( 2 1 ( ( ) ( ) ( | ) α P P α α p a P D P B P D B i i i − + + − = == 由 Bayes 公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B1| D ) = ( ) ( ) ( | ) 1 1 P D P B P D B = 2 (1 )( ) 2 1 2 3 1 α P α P P α P + − + [二十九] 设第一只盒子装有 3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有 2 只 蓝球，3 只绿球，4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球 的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一 只白球的概率。 解：记 A1、A2、A3 分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、 B3 分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。 （1）记 C={至少有一只蓝球} C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5 种情况互斥 由概率有限可加性，得
P(C) = P(A,B,)+ P(A,B,)+ P(A,B,)+ P(A,B,)+ P(A,B,)独立性P(4)P(B,)+ P(A)P(B,)+ P(4)P(B,)+ P(A)P(B)+ P(4)P(B)3233342222579797979799（2）记D=（有一只蓝球，一只白球），而且知D=AiB3+A3B两种情况互斥P(D)= P(A,B, + P(A,B,)= P(A,)P(B,)+ P(A,)P(B,)342216797963P(CD)_P(D)_16(3) P(D/C)=（注意到CD=D）P(C)35P(C)[三十】A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B,221C的电话的概率分别为。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率5255°分别为寸，，设三人的行动相互独立，求2'44'（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率：若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率：（4）这3个电话打给不同人的概率：（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。解：记Ci、C2、C分别表示打给A，B，C的电话Di、D2、D分别表示A，B，C外出注意到 CI、C、G独立，且P(C)=P(C,)=号，P(C,)=5AP(D)-→、P(D)=-P(D)-4（1）P（无人接电话）=P(DD2Ds)=P(Di)P(D2)P(D)-1x1x1-1"2**4"32（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G=CD,+C,D，+C,D，三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式
9 5 9 2 7 2 9 2 7 2 9 4 7 3 9 3 7 3 9 2 7 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 = + + + + = + + + + = + + + + P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P C P A B P A B P A B P A B P A B 独立性 （2）记 D={有一只蓝球，一只白球}，而且知 D= A1B3+A3B1 两种情况互斥 63 16 9 2 7 2 9 4 7 3 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 = + = P D = P A B + P A B = P A P B + P A P B （3） ( ) 35 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) CD D P C P D P C P CD P D C = = = 注意到 = [三十] A，B，C 三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给 A，B， C 的电话的概率分别为 5 1 , 5 2 , 5 2 。他们三人常因工作外出，A，B，C 三人外出的概率 分别为 4 1 4 1 , 2 1 ，设三人的行动相互独立，求 （1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3 个 电话，求（3）这 3 个电话打给同一人的概率；（4）这 3 个电话打给不同人的概率；（5） 这 3 个电话都打给 B，而 B 却都不在的概率。 解：记 C1、C2、C3 分别表示打给 A，B，C 的电话 D1、D2、D3 分别表示 A，B，C 外出 注意到 C1、C2、C3 独立，且 5 1 , ( ) 5 2 ( ) ( ) P C1 = P C2 = P C3 = 4 1 , ( ) ( ) 2 1 ( ) P D1 = P D2 = P D3 = （1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) = 32 1 4 1 4 1 2 1 = （2）记 G=“被呼叫人在办公室”， G =C1D1 + C2 D2 + C3 D3 三种情况互斥，由有 限可加性与乘法公式
P(G)= P(C,D,) + P(C, D2) + P(C,D,)= P(C,)P(D, IC)+ P(C2)P(D2 IC2)+P(C3)P(D, /C3)2x1±2×3+1×3-135*2+5454-20由于某人外出与否和来电话无关故P(DIC)=P(D)（3）H为“这3个电话打给同一个人”22221111722P(H)=*小*小+小x***二（4）R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为221-4**1254- 24于是P(R)=6×一125125（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在1的概率为为寸，且各次情况相互独立于是P（3个电话都打给B，B都不在的概率）64第二章随机变量及其分布1.[一】一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为
20 13 4 3 5 1 4 3 5 2 2 1 5 2 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 = + + = = + + = + + P C P D C P C P D C P C P D C P G P C D P C D P C D ( | ) = ( ) 故P Dk Ck P Dk 否和来电话无关 由于某人外出与 （3）H 为“这 3 个电话打给同一个人” 125 17 5 1 5 1 5 1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 P(H) = + + = （4）R 为“这 3 个电话打给不同的人” R 由六种互斥情况组成，每种情况为打给 A，B，C 的三个电话，每种情况的概率为 125 4 5 1 5 2 5 2 = 于是 125 24 125 4 P(R) = 6 = （5）由于是知道每次打电话都给 B，其概率是 1，所以每一次打给 B 电话而 B 不在 的概率为 4 1 ，且各次情况相互独立 于是 P（3 个电话都打给 B，B 都不在的概率）= 64 1 ) 4 1 ( 3 = 第二章 随机变量及其分布 1.[一] 一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X 表 示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律 解：X 可以取值 3，4，5，分布律为
P(X=3)=P(一球为3号,两球为I,2号)=1xC=c101xC3_3P(X=4)=P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)=！C3"101xC?-6P(X=5)=P(一球为5号，再在1.2.3.4中任取两球)=10C3也可列为下表X:3，4,5136P:1010103.[三】设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。Ci_22P(X=0)=Cis35P个C ×Ca_ 12P(X =I)=Cis35Ci xCl=1P(X = 2)=35Cis-!?012再列为下表X:0,1,222121P:3535354.[四]进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q=1一p(0<p<1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以rp为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：(1) P(X=k)=qk-"pk=1,2,....（2）Y=r+n=最后一次实验前r+n-1次有n次失败，且最后一次成功）
10 1 6 ( 5) ( 5 , 1,2,3,4 ) 10 1 3 ( 4) ( 4 , 1,2,3 ) 10 1 1 ( 3) ( 3 , 1,2 ) 3 5 2 4 3 5 2 3 3 5 2 2 = = = = = = = = = = = = C C P X P C C P X P C C P X P 一球为 号 再在 中任取两球 一球为 号 再在 中任取两球 一球为 号 两球为 号 也可列为下表 X： 3， 4，5 P： 10 6 , 10 3 , 10 1 3.[三] 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不 放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数 X 可能为 0，1，2 个。 35 22 ( 0) 3 15 3 13 = = = C C P X 35 12 ( 1) 3 15 2 13 1 2 = = = C C C P X 35 1 ( 2) 3 15 1 13 2 2 = = = C C C P X 再列为下表 X： 0， 1， 2 P： 35 1 , 35 12 , 35 22 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为 p，失败的概率为 q =1－p(0<p<1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需的试验次数，求 X 的分布律。 （此时称 X 服从以 p 为参数的几何分布。） （2）将实验进行到出现 r 次成功为止，以 Y 表示所需的试验次数，求 Y 的分布律。 （此时称 Y 服从以 r, p 为参数的巴斯卡分布。） （3）一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次 数，写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率。 解：（1）P (X=k)=q k－1p k=1,2,. （2）Y=r+n={最后一次实验前 r+n－1 次有 n 次失败，且最后一次成功} x O 1 2 P