第7章格和布尔代数 (2)因为a-∨b,a=aV∨c故 a(aVb)∧(aVc)。又因为 b∧∝baVb,b∧c≤c≤aVc(7.1.7) 所以有 b∧c≤(aVb)∧(a∨c) (71.8) 由式(7.1.7)和(7.18)可得 aY(b∧c)≤(aVb)∧(aVc)
第7章 格和布尔代数 （2）因为a a∨b，a a∨c,故 a （a∨b）∧（a∨c）。又因为 b∧c b a∨b， b∧c c a∨c (7.1.7) 所以有 b∧c （a∨b）∧（a∨c） (7.1.8) 由式（7.1.7）和（7.1.8）可得 a∨（b∧c a∨b）∧（a∨c）
第7章格和布尔代数 (3)设a√(b∧c)≤(a∨b)∧c。由于 a<aV(b∧c),(aVb)∧c<c 因此由传递性有ac 反之,设ac,则aVc=c代入本定理(2)即得 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧c
第7章 格和布尔代数 （3）设a∨(b∧c) （a∨b）∧c。由于 a a∨（b∧c）， （a∨b）∧c c 因此由传递性有a c。 反之，设a c，则a∨c=c,代入本定理（2）即得 a∨(b∧c) （a∨b）∧c
第7章格和布尔代数 定理71.6设L为一非空集合,∨,∧为L上的两个二 元运算,如果〈L,∧,√〉中运算∧,∨满足交换律 结合律和吸收律,则称《L,∧,∨〉为格。即在L中可 找到一种偏序关系≤,在≤作用下,对任意 a,b∈L,a∧b=GLB{a,b}aVb=LUB{a,b}。 证明先证幂等性成立 由吸收律知a∧a=a∧(a∨(a∧b))=a aVa=aV(a∧(aVb))=a
第7章 格和布尔代数 定理7.1.6 设L为一非空集合，∨,∧为L上的两个二 元运算，如果〈L，∧,∨〉中运算∧,∨满足交换律、 结合律和吸收律，则称〈L，∧,∨〉为格。即在L中可 a,b∈L,a∧b=GLB{a,b},a∨b=LUB{a,b}。 证明 先证幂等性成立。 由吸收律知 a∧a＝a∧（a∨（a∧b））＝a a∨a＝a∨(a∧（a∨b））＝a
第7章格和布尔代数 下证有偏序关系 先定义L上关系如下;对任意a,b∈L,ab 当且仅当a∧b=a。 (1)证为L上偏序关系。 ①因为∧a=a,故a=。自反性得证。 ②设a,b-a,则a∧b=a,b∧a=b。由于 a∧b=b∧a,故a=b。反对称性得证
第7章 格和布尔代数 。 先定义L a，b ∈L，a b 当且仅当a∧b=a。 （1） L上偏序关系。 ①因为a∧a＝a，故a a。自反性得证。 ② 设 a b ， b a ， 则 a∧b=a ， b∧a=b 。 由 于 a∧b=b∧a，故a=b。反对称性得证
第7章格和布尔代数 ③设a=b,bC,则a∧b=,b∧cb,于是 a∧c=(a∧b)∧c=a∧(b∧c)=a∧b=a 故a≤c。传递性得证 (2)可证ab当且仅当aVb=b。 设ab,那么a∧b=a,从而(a∧b)∨b=a∨b, 由吸收律即得b=a∨b。反之,设a∨b=b,那么a∧ (a∨b)=a∧b,由吸收律可知a=a∧b,即a≤b
第7章 格和布尔代数 ③设a b，b c，则a∧b=a，b∧c=b，于是 a∧c=（a∧b）∧c＝a∧（b∧c）＝a∧b=a 故a c。传递性得证。 （2）可证a b当且仅当a∨b＝b。 设a b，那么a∧b=a，从而（a∧b）∨b＝a∨b, 由吸收律即得b=a∨b。反之，设a∨b＝b，那么a∧ （a∨b）＝a∧b，由吸收律可知a＝a∧b，即a b