第7章格和布尔代数 (3)由下确界定义知 a∧(b∧c)≤b∧c≤b a∧(b∧c)≤a (71.2) a∧(b∧c)≤b∧cxc (71.3) 由式(71.1)、(71,2)得 a∧(b∧c)≤a∧b (71.4)
第7章 格和布尔代数 （3）由下确界定义知 a∧（b∧c） b∧c b (7.1.1) a∧（b∧c） a (7.1.2) a∧（b∧c） b∧c c (7.1.3) 由式(7.1.1)、(7.1.2)得 a∧（b∧c a∧b (7.1.4)
第7章格和布尔代数 由式(71.3)、(714)得 a∧(b∧c)≤(a∧b)∧c (71.5) 同理可证 (a∧b)∧ca∧(bc) (7.1.6) 由的反对称性和式(71.5)、(7.1.6),所以 a∧(b∧c)=(a∧b)∧c。利用对偶原理可得 a(bVc)=(aVb)∨c
第7章 格和布尔代数 由式(7.1.3)、(7.1.4)得 a∧（b∧c） (a∧b)∧c (7.1.5) 同理可证 （a∧b）∧c a∧（b∧c） （7.1.6） (7.1.5)、(7.1.6)，所以 a∧（b∧c）=（a∧b）∧c。利用对偶原理可得 a∨（b∨c）=（a∨b）∨c
第7章格和布尔代数 (4)由定理713的(1)可知a∧(aVb)a;另 方面,由于a≤a,a≤a∨b,所以aa∧(a∨b), 因此有a∧(aV∨b)=a。 a∧(aVb)=a的证明留给读者 由定理可知,格是带有两个二元运算的代数系统, 它的两个运算有上述四个性质,那么具有上述四条性 质的代数系统〈L,∧,〉是否是格?回答是肯定的 为了解决这个问题,我们再进一步介绍格的下述性质
第7章 格和布尔代数 （4）由定理7.1.3的（1）可知a∧（a∨b a；另 一方面，由于a a，a a∨b，所以a a∧（a∨b）， 因此有a∧(a∨b)=a。 a∧(a∨b)=a的证明留给读者。 由定理可知，格是带有两个二元运算的代数系统， 它的两个运算有上述四个性质，那么具有上述四条性 质的代数系统〈L,∧,∨〉是否是格？回答是肯定的。 为了解决这个问题，我们再进一步介绍格的下述性质
第7章格和布尔代数 定理71.5设《L,〉是一个格。那么对L中任意元 素ab、c,有 (1)ab当且仅当a∧b=a当且仅当a√b=b (2)a∨(b∧c)≤(aVb)∧(aVc)。 3)ac当且仅当a∨(b∧c)(a∨b)∧c
第7章 格和布尔代数 定理7.1.5 设〈L, 〉是一个格。那么对L中任意元 素a,b,c，有 （1）a b当且仅当a∧b=a当且仅当a∨b=b。 （2）a∨（b∧c） （a∨b）∧（a∨c）。 （3）a c当且仅当a∨(b∧c) （a∨b）∧c
第7章格和布尔代数 证明 (1)首先设ab,因为aa,所以a∧b,而由定 理71.3的(1)可知 a∧b=a。因此有a∧b=a 再设a=a∧b,则a∨b=(a∧b)∨b=b(由吸收 律),即a∨b=b。 最后,设b=ab,则由aa∨b可得a≤b 因此,(1)中3个命题的等价性得证
第7章 格和布尔代数 证明 （1）首先设a b，因为a a,所以a a∧b，而由定 理7.1.3的（1）可知 a∧b a。因此有a∧b=a。 再设a=a∧b，则a∨b=（a∧b）∨b=b（由吸收 律），即a∨b=b。 最后，设b＝a∨b，则由a a∨b可得a b。 因此，（1）中3个命题的等价性得证