第7章格和布尔代数 (3)下证在这个关系下,对任意ab∈L,aVb为 {a,b}的上确界,即a∨b=LUB{a,b}。 由吸收律a∧(aVb)=a,所以aa∨b。又因为 b∧(aVb)=b,所以baVb,故aVb为{a,b}的一个 上界。 设c为{a,b}任一上界,即a≤C,bC,那么, a∨c=c,b∨c=c,于是 a∨ cBrC=cVc 亦即a∨b∨c=c,故a∨b≤C。这表明aVb为{a,b}的 上确界
第7章 格和布尔代数 （3）下证在这个关系下，对任意a,b∈L，a∨b为 {a,b}的上确界，即a∨b=LUB{a,b}。 由吸收律a∧（a∨b）＝a，所以a a∨b。又因为 b∧（a∨b）＝b，所以b a∨b,故a∨b为{a,b}的一个 上界。 设c为{a，b}任一上界，即a c，b c，那么， a∨c＝c,b∨c＝c,于是 a∨c∨b∨c＝c∨c 亦即a∨b∨c＝c,故a∨b≤c。这表明a∨b为{a，b}的 上确界
第7章格和布尔代数 (4)下证在这个关系下,对任意ab∈L,a∧b为 {a,b}的下确界,即a∧b=GLB{a,b} 由吸收律(a∧b)∧a=a∧a∧b=a∧b,所以a∧ba 又因为(a∧b)∧b=a∧(b∧b)=a∧b,所以abb 故a∧b为{a,b}的一个下界 设c为{a,b}任一下界,即c≤a且c=b,由的定 义知a∧c=c,b∧c=c,于是 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以ca∧b,即a∧b为{a,b}的下确界 因此〈L≤〉是格
第7章 格和布尔代数 （4）下证在这个关系下，对任意a,b∈L，a∧b为 {a,b}的下确界，即a∧b=GLB{a,b}。 由吸收律(a∧b)∧a＝a∧a∧b=a∧b，所以a∧b a。 又因为(a∧b)∧b＝a∧(b∧b)=a∧b，所以a∧b b, 故a∧b为{a,b}的一个下界。 设c为{a，b}任一下界，即c a且c b， 义知 a∧c＝c,b∧c＝c,于是 c∧（a∧b）＝(c∧a)∧b=c∧b=c 所以c a∧b，即a∧b为{a，b}的下确界。 因此〈L, 〉是格
第7章格和布尔代数 定义7.1.,2设〈S*,。〉是代数系统,*,。是S上的 二元运算,且*,。满足交换律、结合律和吸收律,则 〈S*,。〉构成格 【例712】 (1)〈P(S,∩,∪〉是一个代数系统,P(S是集合S 的幂集,因为∩,∪满足可交换、可结合并满足吸收律, 所以〈P(S),∩,∪〉是格。事实上该格对应的偏序关系 就是S的子集之间的包含关系C
第7章 格和布尔代数 定义7.1.2 设〈S,*,。〉是代数系统， * ，。是S上的 二元运算，且* ，。满足交换律、结合律和吸收律，则 〈S,*,。〉构成格。 【例7.1.2】 （1）〈P(S),∩,∪〉是一个代数系统，P(S)是集合S 的幂集，因为∩,∪满足可交换、可结合并满足吸收律， 所以〈P(S),∩,∪〉是格。事实上该格对应的偏序关系 就是S
第7章格和布尔代数 (2)〈Sn*,。〉是一个代数系统,Sn是n的所有因 子作元素构成的集合这里对于任意的xy∈Snx*y={xy} 的最大公约数,x。y={xy}的最小公倍数,因为*,。满 足可交换、可结合并满足吸收律,所以〈Sn*,。〉是 格,并且该格对应的偏序关系就是整除关系。简单地 说,子格即为格的子代数
第7章 格和布尔代数 （2）〈Sn ,*,。〉是一个代数系统，Sn是n的所有因 子作元素构成的集合,这里对于任意的x,y∈Sn ,x*y={x,y} 的最大公约数，x。y={x,y}的最小公倍数，因为* ,。满 足可交换、可结合并满足吸收律，所以〈Sn ,*,。〉是 格，并且该格对应的偏序关系就是整除关系。简单地 说，子格即为格的子代数
第7章格和布尔代数 定义7.1.3设《L,∧,∨〉是一个格,设非空集合 且SL,若对任意的ab∈S有a∧b∈S,a∨b∈S,则称 〈S,∧,√〉是<L,∧,∨〉的子格 显然,子格必是格。而格的某个子集构成格,却 不一定是子格。这一点请读者思考
第7章 格和布尔代数 定义7.1.3 设〈L,∧,∨〉是一个格，设非空集合S 且S L,若对任意的a,b∈S,有a∧b∈S,a∨b∈S,则称 〈S,∧,∨〉是〈L,∧,∨〉的子格。 显然，子格必是格。而格的某个子集构成格，却 不一定是子格。这一点请读者思考