第7章格和布尔代数 定理712如果命题P在任意格(L,≤〉上成立 则将L中符号∨,∧,≥分别改为∧,∨,≥后所得的 公式P*在任意格《L,≤〉上也成立,这里P*称为P的 对偶式 在上述对偶原理中,“如果命题P在任意格 L,≤〉上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于 L中,且上确界运算为∨,下确界运算为∧,则P对于 它们也成立。现在我们深入地讨论格的性质
第7章 格和布尔代数 定理7.1.2 如果命题P在任意格〈L， 〉上成立， 则将L中符号∨，∧， ∧，∨， 公式P*在任意格〈L， 〉上也成立，这里P*称为P的 对偶式。 在上述对偶原理中， “如果命题P在任意格 〈L， 〉上成立”的含义是指当命题P中的变量取值于 L中，且上确界运算为∨，下确界运算为∧，则P对于 它们也成立。现在我们深入地讨论格的性质
第7章格和布尔代数 定理71.3设《L,>是一个格,那么对L中任何元 素ab,c,有 (1)aaVb,baV∨b a∧b≤a,a∧b≤b 2)若ab,cd,则a∨cb∨d,ac≤bAd (3)若ab,则a∨c≤bVc,a∧C≤b∧c。 这个性质称为格的保序性
第7章 格和布尔代数 定理7.1.3 设〈L, 〉是一个格，那么对L中任何元 素a,b,c，有 （1） a a∨b，b a∨b a∧b a，a∧b b （2）若a b，c d，则a∨c b∨d，a∧c b∧d。 （3）若a b，则a∨c b∨c，a∧c b∧c。 这个性质称为格的保序性
第7章格和布尔代数 证明 (1)因为aVb是a的一个上界,所以a≤aVb;同 理有ba∨b。由对偶原理可得a∧b=a,a∧b=b (2)由题设知b,c<d,由(1) 有bbVd,d≤b∨d,于是由的传递性 有a≤b∨d,cxb∨d。 这说明ba是a和c的一个上界,而a∨c是a和c的最 小上界,所以,必有 aVc≤bd 将a∧c<b∧d的证明留给读者。 (3)将(2)中的a代替b,b代替c,c代替d即可得证
第7章 格和布尔代数 证明 （1）因为a∨b是a的一个上界，所以a a∨b；同 理有b a∨b。由对偶原理可得a∧b a，a∧b b。 （2）由题设知a b，c d，由（1） 有b b∨d，d b∨d 有a b∨d，c b∨d。 这说明b∨d是a和c的一个上界，而a∨c是a和c的最 小上界，所以，必有 a∨c b∨d 将a∧c≤b∧d的证明留给读者。 （3）将（2）中的a代替b，b代替c，c代替d即可得证
第7章格和布尔代数 定理714设〈L,)是一个格,那么对L中任意 元素a,b,C,有 (1)aVa=a,a∧a=a (幂等律) (2)aVb=bVa,a∧b=b∧a (交换律) (3)a∨(bVc)=(aVb)Vca∧(b∧c) =(a∧b)∧c (结合律) (4)a∧(aV∨b)=a,aV(a∧b)=a (吸收律)
第7章 格和布尔代数 定理7.1.4 设〈L, 〉是一个格，那么对L中任意 元素a,b,c，有 （1）a∨a=a，a∧a＝a (幂等律) （2）a∨b=b∨a，a∧b=b∧a （交换律） （3）a∨（b∨c）=（a∨b）∨c,a∧（b∧c） =（a∧b）∧c (结合律) （4）a∧(a∨b)=a，a∨(a∧b)=a (吸收律)
第7章格和布尔代数 证明 (1)由自反性可得a=a,所以a是a的一个上界, 因为a∨a是a与a的最小上界,因此a∨a≤a 由定理71.3的(1)可知aaVa 由的反对称性,所以a∨a=a。利用对偶原理可 得a∧a=a (2)由格的并∨与交∧运算的定义知满足交换律
第7章 格和布尔代数 证明 （1）由自反性可得a a，所以a是a的一个上界， 因为a∨a是a与a的最小上界，因此a∨a a。 由定理7.1.3的（1）可知a a∨a。 ，所以a∨a=a。利用对偶原理可 得a∧a＝a。 （2）由格的并∨与交∧运算的定义知满足交换律