01:10.13374/i.i88m1001-03x.1957.00.08 一56- 關於用一排圓法解 亞警速葉柵反問題的介绍 李有章 (熱工教研組) 用保角脚输法將一排叶櫚博翰为一排的最初概念，是H.E.柯背于1940年提出来 的〔1〕〔2〕〔3)。柯清求解叶辋不可压韬流体流，中任一点的速度而得到了下列的 一个奇異积分方程： w(a)=git∫cth)w(cu+w。 2it (1) 式中，W(z)一叶櫚流将中任一点的复速度； W。 一叶桐前后所无根远处的几何本均速度： 、 叶型面上的复座标， — 桐。 式(1)花，叶桐诚据任一点的逃度，可以用沿一个叶型周線的积分来表示。将积 分方程(1)的核开，则倘可将式(1)写成下列形式： ww+员g+员(， +2-)Nw)d, (2) 由于沿叶型周额w=0,放W(C)北=9，是以式(2)亦可理解为沿叶型的弧d护有旋 d 淌分佈，共强度为且这一分价是有遗蝴性的。 根据方程(1），柯青于1944年提出了一种估計大桐距叶棚气动特性的近以方法， 並与單个叶型桃流的积分方程进行北做，指出米在究棚中一个叶型桃流的时候，其 余的卧型可用一附伽流动来代替，此附加液动期为所有叶型干扰的精果，这一点正也是 其他肝究叶糊的人的共同想法。 在文献[1)中，树青也提出来了处理基本积分方程(1)的一种力法，其法布： 运用拉普拉斯变换，並与由啦个周蒋柳为單个叶型的鹣输通式一起进行了分析。运用所 得結果，柯背求解了税一排倒棡的流动，在求解过程，将桃国圆的一般就动分成为机 流，凝流及純环淡三种情况来考虑，其最后粘果则系将！上的速度分量表为三角殷数， 而三角殺数的系数則父较为叶钿稠度（的器极教。金H布林〔4）利用柯青的解計算了圆 辋稠度为1=0.2~0.6情形F的速度放势。任文献〔4〕中，对于稠度为q=0.60.9
一 砧 一 阴 矜 用 一 排 圆 法 解 亚 馨 速 蓄 栅 反 明 题 的 介 绍 李 有 章 热 工 教 研 组 用保 角裨精法 将一排卜卜枷 傅箱 为一排 圆的最初 概 念 ， 是 柯 青 于 年提出来 的 〔 〕 〔 〕 〔 〕 。 柯青求 解 叶棚 不可 压精流体流壕 中任一 点的速度而得到 了下列 的 一 个奇具 积分方程 卜 孔片互 ‘、 十 式 中 ， — 叶棚流踢 中任一点 的 复速度 。 — 叶拥前后所 无 限远 处的 几何平均 速度 七 — 叶型 面 上的 复 座标 ， — 书 距 。 式 沦明 ， 叶枷流踢 中任一 点 的 速度 ， 可以 用沿一 个叶型 周腺 的积 分来 表示 。 将积 分方程 的核 展 开 ， 尚可 将式 写成下’ 形式 卜 。 碳 屯 一 乙 一 否十 孔 一 乙一 一 乙 〕 ‘’ “ ‘ ， 由于沿叶型 周腺 。矽 一 。 ， 故 咬卯 炸一 〔坪 ， 是以 式 亦 可 理解 为沿 叶型的弧 叮了旋 涡分饰 ， 共 强度 为 犷 万尹 且这 一 分 币足 打 迥 ‘ 性日寸。 根据方程 ， 柯 青 于 年提出 ’ 一 种估补 夕州 距仆卜棚 气动特性的 近似 方祛 ， 益与 革个 一 卜型粹流 的积分方程进 行此校 ， 指 出来在研究 仆卜柳 中一 个叶型按流的时候 ， 其 余的 叶型可 用一 附 加 流动来 代替 ， 此 附加 流动 划 为所有 川 一 型干扰 的 拮果 ， 这 一点 也是 其他研究 叶棚的 人的 共 同想法 。 在文献 〔 〕 中 ， 柯 青 也提 出来 了处理从本积 分方程 划 的 一 种 方 法 ， 共 法 在 立 坛用拉普拉斯变换 ， 效 与 由 军个 圆搏精 为 革个叶型 的 棘箱 通 式一起 进 行 了 分析 。 坛 用所 得桔果 ， 柯青求解 了伶一排 圆棚 的流 动 ， 在求 解 过程 中 ， 将缺 回利“ 的一般流 动 分成 为横 流 ， 桃流 及 种 环流 三 种 情 况来考 虑 ， 其最 后桔男 则系 封引比卜的速度 分量表 为 三角极数 ， 而 三 角机数的 系 数则又 资 为 叶棚 稠度 的慕机 数 。 金 布格 〔 〕 利 用柯 青的解针 算 了圆 棚 稠度 为 二 情 形 一 厂的述度 及 势 。 在文献 〔 〕 中 ， 对于 稠度 为 一 一 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1957．00．008
一56- 的圆删，调是用M.H.珂失斯基〔5〕的方式計算的。 1950年发表了蔬莫依罗雅契〔6]的一篇論文，在这篇文常中提出了計算州惆桃流 的另一种方法，此方法仍然是以柯诗的最初瓶念为张础的。 考虑到桐戴上周斯为it的問期性南数P'(z),且股P(z)在：→∞时是有界的， 龙可在原点的腾城攻任一周上振开为P'(z)=· 三a2产烟在国稠城上 P(2)=∫ieh2, (3) 米：ch,》往座标的降线上候开为泰勒毅数科 ch9-誓芝（ach 00 t n-0n t, 而由于 60 eh+ (-112(）2，等z1<1 k=1 是以从(3)式可得 的 00 P'(z)= b-a+ (-1)nk-1 n-0 n=0 k n! 欲(” 22k-a-1, 驱变榜后可得 0000 P'(z]= 三 (-1)+1 n=0 k n！ (）》广” b-(2k-nz"。 (4) 因此就可以把櫚城上定义的一个复变附数 P(z)=P。+P'(z), (5) 吸开成下列劳倫极数 0 P(a)=o+三 之，2a+乏bmz", (6) n■0 2不 式中， b=嘉厂3-i: b-三()h k Bx一伯诺里数
一 一 的 圆棚 ， 明是用 儒坷夫斯共 〔 〕 的 方 式豁 算的 。 年 发表 了藤莫依 罗推契 〔 〕 的 一篇萧文 ， 在这篇文章 中提出 了补算 回棚麟 流 的 另 一 种 方法 ， 此 方法仍 然 是以 柯青的最初 概 念 为 某础 的 。 考虑到 拥域上 周期 为 的 周期 性 函 数 ‘ 幻 ， 且毅 ， 在 互 时 是有界的 ， 的 韭 可 在 凉点 的 磷域 及 任一 回 周 上 展 开 为 ‘ 咬 一 芝 、 在 圆和”域 上 一 一 挂二 、 。 一 乃 一 。 匹 全二玉〕 。 、‘ ， 乙，‘ ’ 片 幼 一 在 座标 的 啊掇 一沉 开 为泰勒极 数衬 降 二 ‘ ， 二 〔 一 〔 二 ’ 一 一 二 ‘ 一 万 的 芝 份工胜宁 一 一 而 由 一 于 令 · ‘ 补 一 专 多 ， 一 ‘ ‘ 一 ‘ 艺 笙 一 ’ ‘ 一 当 是以 从 式可 得 ‘ 口、 孔一 、， 、 ‘ 一 芝一 ，、 公 一 卜 的 吧喇 吧叫 扩一 卜 一 十 碱 一 众石 一 一 ， 一 ， 一 、 一 、 一 一 一 一 一 趣变换 后可得 “ · 卜遥争 · 连 。 落 一 。 甲 艺 一 一 艺 一 。 卜 ，、 皿 。 囚 此 就 可 以 把 和 域 上 定 义 的 一 个 复变 函 数 ‘ ， 展 开 成下 列 劳偷极数 ” · 卜 十 芝二二 一怡 十 芝 、 ， 一 一 下 一 ’ “ 式 中 ， 。 俄 一 二 〕 竺士望竺卫鱼 了 又 一 一 孔 、 女 、 一 芝 ，一 “ “ 一 〕 ’ 、 一 伯裕里 数
-57- 又在求和时，当n必为钢数，则k从k=士算起，当n为香数，则从k=”士算起。 积据对复变两数(5)的上逃分析，藤莫依罗雜契提出了下列兢圆相诚动的复势函 数 F(2)=Wo+A1n六sh t+ A-s n=1 +E三 (-1+1Bn2q2-A2k-2,（7） n=1 k 2k(2k-n-1)1n 利用复势函数F(2),蕨莫依罗锤契求解了锐斯澗的泷动，在求解时仍系將绕個稠 的一般流动分成为縱流，横流歧純环流三种情况 分别来考虑。 24 在上逃情况下，若考虑德草位稠的流动， 細轴的方向与脸轴相合，而座标原点位于某一间 的圆心上（图1），則圆上的速度(0，q)可以表 为下列形式： u(0,q)=uoo {ug(0,q)cossoo +u(0,)singoo+u() (8) tuco 而速度势則可按下列公式来計算： -18. (0,q)(q)cos8o +x(0,0)sin8oo +e0e, (9) 周1 式中，4g,w,4一利应为9w=0,u=1,「=0：0-2，u0=1,「0 及u的=0，了=1情况下围上的速度； :,”,9一一上逃情形下的速度势。 在利用上越醛方程計算国稠梳浅的时候，桐前斤无限远处的速度则系等三种情 形下速度的儿何和，而間上的速度则系等于：三种情形下的算术和〔7〕。 诺糇柯娃〔8】利用膦莫做罗熊契提出的式子，十算了q=0,9~0.96下的速度皮 势。 根据对两数(5)的分析，在文献〔6〕上，莫依罗排契提出了将一排倒博输为 一排叶锕的轉翰式，若殺叶稠面为z平面，而單位榈面为P平而，則得 00 00 三声+三n z=a5+a0+乏 (10) 莲莫依罗獬频将劳偷级数(10)与將巢个跟位萨棉为跟个叶型的下列莎伦殷数！比
一 阶 一 又在求 和 时 ， 当 为锅 数 ， 剧 从 一 十 ，， 二 、 ，， 、 ， 、 、 ， ， ， ， 。 ‘ 异 起 ， 书 为 荀 致 ， 只 从 一 一不 玉 一 界起 。 自 松 据对 复变雨 数 的 上述 分析 ， 蘸莫依 罗推契提出 了下列跷 圆棚流 动的 复势函 的 · ，一 。 十 ‘。 专 一 件 一 十 芝 廿 一卜 艺 芝 一 一 、 “ ’ 孔 “ “ 。 “ 一 一 一 、 一 ” ， 利 用复势函 数 ， 的一般流动 分成 为砒流 ， 分别 来考虑 。 藤莫依 罗 推契 求 解 了跷 圆科 的流动 ， 在求 解 时仍系牌跷 回棚 横 流 从 钝环流 三 种 情 况 选一爹 在上述 情 况下 ， 若考虑接 单位 圆棚的 流 动 ， 棚朝的 方 向与虚翰相 合 ， 而座标 原点位于某一 圆 的 圆心 上 图 ， 刻 圆上的速度 ， 可以 表 为下列形 式 ， 。 登 口 ， 夕。 刀 ， 胡 。 ， 。 而速度势划 可按下 列公式来 补 算 、 入箱 、 鸽舀 白 】 一 嘿丹 一 一 ‘ 护。 ‘ ” ， ’ 。 ” ” 二 留刀 ， 胡 、 ， 一 几 ， ， ” 乡 式 中 ， 誉 ， ， ， — 相 应 为口 一 。 ， 一 ， 一 。 口 “ 及 。 一 。 ， 一 情 况 一 「蜘上 的速度 外— 上述 情形 下的速度势 。 园 仇 一 ， 价 护舀 ， 中刃 在利 用上述 猪方程 豁算 圆棚跷流 的时候 ， 同初 前后 无 限远处 的速度则 系等 于三 种 情 形 一 速度的 几何和 ， 而 圆上的速度 系等 、 于三三种 情 形 下的 算术 和 〔 〕 。 带稚柯娃 〔 〕 利 用蘸莫依罗 推契 提 出的 式子 ， 补算 了 一 。 ， 下 的速 度 及 势 。 根据对函 数 的分析 ， 在文献 〔 〕 上 ， 硫莫依 罗推契 提 出 了将一排 闻样箱为 一排叶棚的搏精式 ， 若毅 叶棚 面 为 平面 ， 而 单位圆枷 而 为 平而 ， 具 得 一 乙 。 。 艺一 蘸莫依 罗撇契 将劳偷极 数 、 乙 的 芝一 与将 狱 个 罩位 圆 搏输 为 草个 卜型 的下列 劳偷 翘 数 和 此
—58- 胶， b 1=e,5+w+三， (11) n=1 並求出，若將單个罩位圆韩籍为任意一叶的翰式(11)是已知的，则即刊將罩位桐 轉输为所花叶型叶搁的轉输式(10)求米，a1,a,a-1,…期系川c1,co,c-1… 等来表示。 根据上迹，知道了将一排甲位棚轉输为-一排树的棘翰式，且又行了非桐桃淡的 针算表格，因此就能够求样任意形状叶型構成的叶桐之桃流周遐。 在运用式(8)式(9)方面，M.H.糯珂夫斯〔9〕叉論趾了礼环流情形下 叶型上任一点的速度势与心环流情况下在同一点气流离开时冲的关系。 在1954华发安的M.H.懦同夫斯的交管〔10们上，需阿大斯从粽了他以的一 些工作，提出了决定博输式(10)z()的一种遂步近以法，其法在」运用一华板叶糊 (板長与叶犁最人弦相等，按装与该弦与×听成有4！同，脚与计糊4和同)作为第 次近似（适用于压气机叶櫚改水淌榆叶栅）；面对」广烈度較高叶型收复杂的叶稠，划 以朵用与：之相近似的一理論叶栅作为第一水近以，这样作南水近似一效就到以求出所常 的劳偷級数的系数。所花这种近似法的概念，首先是山西蒙诺夫〔11)用在求解單个翼 型镜流的問题上，其后来夫曼〔12]〔1)在：求解叶铜桃流問图时父作了进一光的推 广。在求解叶糊反周图的时候，为要从F列叶调域上北則的周期函数 inW(z)=/nW(s)+i8(s). (12) 由其已知的实部求其虚，为了消除1W(z)在叶型临界点上的对数奇点，引用了一个 辣输式z()为已知，图棚调度q攻糊临界点位置.及相同的一叶调，合 00 In wr( )Beth n=0n 0 -乏R-n5m+乏R5", (1) n2 n-0 区=ei0上将(18)分开为安部及虚部行 00 女 =三(a+A.casn0+乏0 n=2 n=2 +A:cos0-B:sin0+Ao, (14a) B-A=兰(B-+B)cosn-三(A+A)Sinm0 n=2 n=2 +B:Cos0+Aisin+Boo (14b) 將
一 防 一 故 ， 一 ，乙 ， 。 芝 一 益 求 出 ， 若将 革个 罩位圆棘糟 为 任意一 叶型 的 棘糟式 工 是 已知的 ， 具 即 可 将 革位圆棚 博枪 为 所浅 卜卜型基「一 衬珍的 棘枪式 求 月来 ， 而 ， 。 ， 一 ， ， … … 只 系 川 ， 。 ， 一 … … 等 来表示 。 根据上远 ， 知道 了将一 排革位 飞棚 棘糟 为一排 叶棚 的搏糟式 ， 且又 有 了 ‘ 棚校流 的 豁 算丧格 ， 因 此 就 能 够求 解任意 形状 叶型磷成 的 叶棚 之祷 流 尚题 。 在坛 用 式 夕和 式 少方 ， 濡坷夫斯从 〔 〕 又 湍敲 一 ’ 种环流情 形 一 厂 仆卜型上 任一 点 的速度势 一 与无环流情 况 一 「在 同一 硕以气 流 离 开 时 冲 角的 关 系 。 在 年 发表 的 儒坷夫斯从的 文 章 〔 〕 一 卜 ， 儒坷夫斯从粽合 丁他以 往的一 些 工 作 ， 提 出 了决 定蟀精式 卯 的一 种遂步 近 似法 ， 其 方法在 ‘ 运 川一 平板 川 一 棚 板畏 与叶型 绩 大弦相 等 ， 按装角 一 与兹 弦与 帕所成 角相 同 ， 棚 冲 与叶棚 相 同 作 为第一 次近似 适 用于 压 气机 叶棚 及 水 淌输叶棚 对 二稠度翰高 卜从叫咬复杂 的 “ 棚 ， 可 以 采用 与之相 近似的 一 理流叶棚 作 为第一 次 近 似 ， 这 样 作 雨次 近 似一般就 可以 求 出所需 的 劳偷极数的系 数 。 所浅这 种近似法的概 念 ， 首先 是 由西蒙藉夫 〔 〕 用在 求 解 单 个翼 型粹流的 圈题上 ， 其 后朵夫 曼 〔招〕 〔拐〕 在求 解 一 卜棚校流 尚题 时又 作 了 进 一 步 的 推 广 。 在求 解叶棚 反 周题的 时候 ， 为要从 下列 叶棚域 上 正 的 周期 函 数 一 口 ， 由其 已知的实部求共 虚部 ， 为 了消除 在 叶型临界点 上 的 对 数奇点 ， 引 川 了一 个 棘枪式护 幼为 已知 ， 圆棚 稠度 及 圆棚 临界点位置 及 几相 同的 一 叶棚 ， 令 一 ‘ 二 的 一分﹂ 芝 一 肚 一 ， 一 “ ‘ ” 一 下“ 一十 的 芝 一 ‘一 。 艺 玖 ‘ ’ ‘ ， 招少 一 一 闰川‘ 一 曰抓招 分 开 为实部 及 虚部得 一 芝 一 、 芝 一 ， 一 一 一 ， 。 ‘ 一 日一 芝 一，， ” 芝 一 十 式 ‘ ” 一 一 、 、 。 飞
-59- Inw 展开成(14a)及(14b)所示的级数即可以求得A-。,B-以枚An,Bn,求解时可用 邀步近似法。 叶型的座标則可用下列公式計标 2it x*=W* s cos8*d0; do (15) =」 wtm8in9*d0。 上远的方法提供了改良叶稠的具体办法〔14)。 前面所沧是为用一排侧法求解不可压箱流体桃流叶橱間题发展情况的介貂。由于在 祸翰机和压气机中气流速度的提高，在：很多情形下，实际上必颈要考虑到气体的压缩 性，也就是必须要求解亞声速以改超声速气流梳流叶桐的圆题。 以一排图法为基础，利用查浦滑金近似（色可以用卡門-一錢近似）〔15)〔1G们〔17) 求解亞声速叶拥反問粗，据所見，先后北行兩裕文章，一篇是司捷潘带夫〔18〕，提田 5 的，分一篇則是M.H,儒珂夫斯共提出的〔19】。本文主要即系来介貂这雨篇文章的丙 容。 一，給定图上的速度分伟求集播 这一方法是司捷潘蒂夫在文献〔18)上提来的，而且也已有了实用数据和资验资 料〔20)。 殺在m面上有周蜘为t的一排單位剁椰，名面上气休流，上有刷期州同的一列所求 叶脚，其外部与圈棚的外部组合（图2） 喝2
一 即 一 ， ， ‘ ” 丽两万不石 展 开 成 及 所 示 的极数即 可以 求 得 一 ， 一 、 以 及 。 ， 。 ， 求 解 时可 用 莲步近似 法 。 叶型 的 座标 可 用下列 公式补标 盯 一 器 知 尹 伽 一 器 儒 一 。 ‘ “ · “ 。 上述 的 方法提供 了改良 一 卜棚的具 体 办法 〔 〕 。 前面所浅 是为 用一排圆法求 解不可 压精流体缺 流 叶棚 简越 发展情 况的介貂 。 由于 在 涡翰机 和压 气机 中气流速度的 提 高 ， 在很 多情 形下 ， 实际 上 必 沂要考虑到 气 体 的 压 精 性 ， 也 就 是必须要求 解亚 声速以 及超 声速 气流棋 流 叶稠 的 周题 。 以 一排圆法 为从础 ， 利 用查 浦需 金近似 也 可以 用卡 阴一挑近 似 〔 曰 〔 〕 〔 〕 求 解亚 声速 仆卜拥 反 隅题 ， 据所兑 ， 先 后共 有 雨篇文章 ， 一篇是 司 捷潘豁 夫 〔 〕 ， 提 出 的 ， 另一篇 是 儒坷夫斯某提 出的 〔 田 。 本文主要即系 来介 貂这 雨篇文章的 内 容 。 一 ， 拾定圆上的速度分怖求集栅 这一方法 是司捷潘带 夫 在文献 〔 〕 上提 出来 的 ， 而 且也 已 有 了实 用 数据和实娥查 料 〔 〕 。 毅 在 面上 有 周期 为 的一排 单位 回 柳 ， 盯上 气休 流踢 上有 周期胡 同的一列 所求 叶拥 ， 其 外部与 圆棚的 外部担 合 图 圈