受接触载荷作用的齿面下分叉裂纹扩展分析

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1989.05.025 北京科技大学学报 第11卷第5期 Vol.11 No.5 1989年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1989 受接触载荷作用的 齿面下分叉裂纹扩展分析 曹仁政张运清 (北京科技大学)（武汉钢铁学院） 摘要：利用裂纹面的边界条件速立起奇异积分方程，然后通过对奇异积分方程采 用数值解，计算了受赫芝接触应力作用的齿面下分又裂纹尖端的应力强度因子，最后用裂 纹扩展理论对藏劳裂纹的扩展方向进行了分析。结果认为分叉裂纹将以与斜裂纹段约成60° 角的方向刷齿面扩展。 关键词：分叉裂纹扩展、齿轮点蚀，应力强度因子，奇异积分方程，数位解 Propagation Analysis of Branched Crack in the Gear Surface Loaded by Hertzian Contact Stresses Cao Renzheng Zhang Yunging ABSTRACT:By means of the boundary conditions of the crack,a system of singular integral equations is obtained.Using the numerical method for the solution of the singular integral cquations,the stress intensity factors at the tip of a branched crack in the gear surface loaded by Hertzian contact stresses can be calculated.From the current theories about a crack propagation,the tip of th branched crack spreads to the surface in the direction of about to 60 with the declined crack. KEY WORDS:branched crack propagation,pitting,stress intensity factor, singular integral equation,numerical method 对通常的闭式传动齿轮而言，点蚀破坏是最常见的失效形式，在某种程度上极大地限制 了齿轮传动承载能力的提高。因此，研究点蚀破坏过程，找出行之有效的提高齿轮接触疲劳 1988-11-09收稀 449

第 卷第 期 权 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 、 。 。 一 一 一 一 一 一 一 一 一一 一一 — 一— 一 一 — — 一 — — 一——一 一 一 一 一 一 受接触载荷作用 的 齿面下分叉裂纹扩展分析 ，、 、 曹仁政 北 京科技大 学 张运清 武 汉 钢铁 学 院 摘 要 利 用裂纹 面 的边 界条 件建 立 起奇异 积 分 方程 ， 然后通 过对 奇 异 积 分 方程 采 用 数值 解 ， 计算 了受赫 芝接 触 应 力作 用 的 齿 面 下 分 叉 裂 纹 尖端 的应 力强度 因子 ， 最 后 用裂 纹 扩展 理论 对疲 劳 裂 纹 的扩 展 方向进 行了 分 析 。 结 果 认 为 分又 裂 纹 将 以 与斜裂 纹 段 约 成 “ 角 的方 向 向齿面扩 展 。 关 键词 分 又 裂 纹 扩 展 ， 齿轮 点 蚀 ， 应 力 强度 因 户 ， 奇 异 积分 方程 ， 数 位 解 、 之 九 夕 ， 凡 夕 ， ， 。 皿 ， 妙 今上‘ 、 、 、 。 ， ， ， 己 ， 对通常的 闭式传动齿轮而 言 ， 点蚀破坏是 最常见 的失效形式 ， 在某种程 度上 极大地 限 制 了齿轮传动 承 载能 力的提高 。 因此 ， 研究点蚀破坏过程 ， 找 出行之 有效 的提高 齿轮 接触疲 劳 、 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1989．05．025

强度的措施，对齿轮传动承载能力的提高具有重要意义。 由大量的实验观察研究表明，齿轮点蚀破坏的全过程大休上可以看作是由披劳裂纹的3 个扩展阶段组成的：(1)齿面裂纹的萌生，即产生齿面垂直裂纹的阶段；(2)齿面垂直裂纹 的扩展阶段，当垂直裂纹扩展到一定深度后，它将沿与齿面成约20°角且与齿面摩擦力方向 朴州反的方向扩展[11，(3)由垂直裂纹及其扩展的斜裂纹构成的复合裂纹即分叉裂纹以一定 的角度向齿面的扩展。由上述疲劳裂纹的3个阶段导致齿面上小块金属从齿面脱落而出现齿 面点蚀。因此，分析点蚀的全过程就应分析裂纹扩展的各个阶段，而要更合理、更准确地确 定齿轮的寿命，就应首先搞请楚裂纹扩展的全过程。因而研究分叉裂纹的扩展是一个很迫切 而又十分有意义的工作。 1 分叉裂纹尖端应力强度因子的计算 齿轮在接触载荷的作用下，齿面的接触变形远小于其齿厚，因，可将受钱齿面看作半 无限体受赫芝接触应力的作用，义由于任接触 Nx)-B/a-x: 载荷的作用下，齿面下各点的屈服变形由于受 周围材料的约束而不会太大，即处于屈服状 态。因此，为了讨论方便利用下面有关知识， 将受载体看作我掸性体来分析裂纹的扩~展问 题。 y 如图1所示为含有分叉裂纹的弹性半无限 y 体受赫芝接触应力的作用。下面采用迭加法来 图1儿何尺寸及坐标系 分析裂纹的扩展问题。 Fig.1 Geometry and coordinate system 1.1由垂直段裂纹面的边界条件建立积分方程 利用迭加原理有： t(cT,y)+1(cT,y)+%(c,y)=0; (x=c或x1=cT xy1(cT,y1)+t1y1(cT,y1)+ry(c,y)=0,八0y1≤h ) (1) 式中，o1、t女1y1是与图1左下部相应的应力，σ：、x,y1是与图1左半部相应的应力， 而σ？、xy是与图1右半部相对应的应力，且由〔1门中附录I得： /y=y1 }=C9{} w7-g89: a1=h/cosw L=CT-Bt' 令： NS= x1=×-C+htgw n+(t'-s)2 cT=h.tgw 令：，M=y1+a iH=L2+M2 NTS=t-s n:+(t'-5)2 450

强 度 的措施 ， 对 齿轮传动承 载能 力的提高 具有重 要 意义 。 由大 量的实验观察研究表 明 ， 古轮 点蚀 破坏的 全过 程 大 体上 可以 看 作是 由疲 芳裂纹 的 个扩展阶段 组 成 的 齿面 裂纹 的萌生 ， 即 产生 齿面垂 直 裂纹 的阶段 齿面垂 直裂纹 的扩 展阶段 ， 当垂 直裂纹扩 展到 一定深 度后 ， 它将 沿 与 齿面 成 约 。 角且 与 齿面 摩擦 力方 向 相 反的方 向扩 展 ’ 场 由垂 直 裂纹 及其 扩 展的斜 裂纹 构成 的复合 裂纹 即 分 叉 裂纹 以 一定 的角度 向齿面 的扩 展 。 由上 述疲 劳 裂纹 的 个阶段 导致 齿 面上小 块 金属从 齿面脱 落而 出现 齿 面点蚀 。 因此 ， 分析点蚀 的全 过程 就应 分析 裂纹扩 展 的各个阶段 ， 而 要 更合理 、 更准确地确 定齿轮 的寿命 ， 就应首 先搞 清楚 裂纹扩 展 的全过 程 。 因而 研究 分叉 裂纹 的扩 展是 一个很迫切 而 又十分有意义 的工 作 。 分叉裂纹尖端应 力强度 因子 的 计算 齿轮 在接 触 载荷的 作用 下 ， 古面 的接触 变形远 小 于共 齿厚 ， 因而 ， 可将受 载 齿面 看 作半 无 限 体 受赫 芝接触应 力的 作用 ， 又 由于在 接 触 载荷的 作用 下 ， 齿面下 各点 的屈 服 变形 由于 受 周 围 材料 的 约束 而 不会太 大 ， 即处 于 屈 服 状 态 。 因此 ， 为 一 寸论方 便利 用 下 面有 关知 识 ， 将 受载体 看作线 弹性 体来 分析裂纹 的 扩 展 问 题 。 如 图 所 示 为含有分叉 裂纹 的弹性半 无 限 体受赫芝 接触应 力的作用 。 下面 采用迭加 法来 分析裂纹 的扩 展问题 。 口 图 儿 何尺 寸及座 标系 主 由垂 直 段裂纹面 的 边 界条件 建立 积分方 程 利 用 迭 加原 理 有 ， ， 夕 ， 夕 ， 呈 ， 夕 二 ， ， 夕 ， ， ， ， 少 ， 呈 ， ， 夕 。 或 二 一 万 〔 “ 式 中 ， 委 、 要 ， 是 与图 左 下 部相 应 的应 力 ， 。 ， 、 荟 ， 是 一 与图 左半 部相 应的 应 力 ， 而 吴 、 裸 是 与 图 右半 部相 对 应 的应 力 ， 且 由〔 〕 中附 录 得 。 一 · 臼 、 二 口 ” 卜〔 一 〕 力 “ 一 〔 · 一 一 ‘ 一 么 〕 令 一 刀 ‘ 二 一 ‘ 二 一 卜 令 、 一 “ 一 件 ‘ 一 “ 一 乙 ‘ 一

a(e,)=∫，f){片+20+(3a4+ay)=M H2 +(3a4-y)2+2a24y: 2M-6ML2-2e'y,6M2,L-2L9 H3 H3 +2NTS+2n+(a-B=)'-8门NTd'+1∫9){482-4ag: -)7+(28*-2a9+4a8)沿+3a'+y(a+28-)M: L +y2p-24g+a）-3a4”M+20'y126ML H3 22L28N)()NT d H3 =2f)U(,yd+J,9'),d (1a) e0∫，}-营2o-)+e4 +8y:）2以-2ae"n2M7sL-2a43,6LM222L:+0a-B)aw7 H3 H3 4刀 -208N7s}4'+2∫9){2a8-2a9)答+(ap-月n-a3p)合 +a'-y(a+2g2-28】7M+2ary12M9L+aB H3 -y(aB-月-2aB门M-2a84'y62M2L+2aBNS-2am +(a2-B2)(t'-s)]NT}d' =)u,4,a+,94y,,a (1b) 由文献〔1〕中附录I有： o,=0C,+U,门 (1c) e,=∫ic〔y+r,y门 451

‘ 产、 几 、 」子户 气 ﹄二 、 ， 王 ， ， 少 。 二 ‘ 乙 。 户 二，二 月 · 答 一 ‘ 、 一 十 “ 少 一 二丁二一一一 ‘ 十 。 刀才， 一 月夕 禅望攀 、 。 才 夕 又 一 一 “ 一 〕 刀 产 一 十 二必 。 十 。 艺 一 方 三 ‘ 一 〕 · “ ‘ 产 弃 邑 。 ‘ 广 ， ‘ · ” 一 ‘ 。 “ 一 比 一二二 月 、 户 一 。 方、 。 。 嘿 、 〔 。 刀‘ 、 夕 ， 〔刀 、 刀一 。 刀 〕 三欺卫兰 ‘ ，、 〔 夕 、 仪 全 刀 三 一 仪 刀 之 十 一 叹 。 ‘ 〕 之 刀 广 五 一 护 尸 丝黑于丝 十 刀 · 〔 刀 一 ‘ 一 之 一 ” “ ’ 〕 · ‘ ‘ ， 夕 ‘ 巴 · 、 。 · ， ， ， 卜 专 ， ‘ ， ‘ · 「 ‘ ， 夕 ‘ 一 一汀 一 一 五了 刀 ‘ 一 刀乡 ， ， 仅 “ 一万 一 ‘ 材“ 一 刀 ‘ 五 一 ” 万 一 叹 ， 一 “ 一 刀 “ 一 、 、 ， 。 ， 」 ， 一 艺“ 金 “ —兀 ‘ 五歹 。 。 。 ， 。 。 、 艺 卢 ‘ 一 ‘ ‘ 了了 戈 ‘ 一 。 一 一于万， 又 〔 “ ‘ 一 】 刀 “ 一 刀 “ 〕 之 一 五了 了里 乙 叹 一 “ 〔 刀 一 “ 方一 刀 “ 一 “ 刀 〕 一 尽 ‘ 一 万 · 一 〔 刀 一 ，叭、 、 “ 一 刀 “ ‘ 一 〕 ‘ 二 李夕汇 之 ‘ ‘ 「 夕 少 厂 一 二 产 ‘ 奋‘ · 犷。 ‘ ， 夕 ’ 由文献 〔 〕 中附录 有 几 、 ， ， 二 、 。 气 ‘ ， 一 —汗 之 〔 一 ， 夕 〕 ‘ ‘ 「 “ ‘ 了 ， 夕 ‘ ’ “ 下 〔 一 犷 ‘ ， ， 〕 ‘ 土一 弓

义山弹性力学知！识得： ic,w-0w-7∫.8va-.50c55°u 〔y3+(c-4)门 ic,w-yw-是∫.&va-（ed 〔yL(c-)〕 (1d) 将(1a)(1d)代入式(i）即得奇片积分方程L: ∫0)C-y.+U4,门+∫f")U4,ya +∫9)，=0 (2) ∫c0〔：-+，门+∫fU,t,d +∫),,y=Ry 1.2由斜裂纹面的边界条件建立奇异积分方程，同理，由选加原理为 5o(o,5+(0,s)+r日，(0，s)=0； ) (3) ti,(o,s）+t、(o,s)+r,(o,s)=0; 式中，σ：、tA,是图1左卜角相应的应月，o:、r,w、t.是图1左半部和石半部相应的 应力。同样，山文献〔1〕中附求【得： (w,s)= "){g++2g+2a F2+(3ut′+s --s)-,(t‘+Ws-4aAs)2ww:+24.52w-6w,形 F F3 +2e0.6-2war+∫八，9)2u*-2af-e) +f-2+〔-s(a-2n-8-〔3 +4s2+2f-2w:W:+2a.s6Ww:-2w: F3 -2t.2W:-6{ 452

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=∫1)〔是。+Uk,s)门d'+是∫g")K(,sd (3a) do,s=是∫1)月oes-a)2+2+a-pa -8s)ww+（a-4'+a5-4us)2w2:w2+2a0t.s2w26w2w -2a4s6-2形{'+是∫八9{2。+-a8 F3 -2a明n)+2a6.+a4+es(28:+2ag-a力"w F2 +-aft+(2u3B-2a2B-B)u.sJ 25+2a4.g2w-6Ww F F3 +2u2.6W:w号-2w}d' F3 =是f)Uw',sd'+是∫ig')〔g+rN,s)门a (3b) 上两式中，n=0,.x1=s,y1=25,并令： W1=x1-Bt'=f(s-t'),W2=y1+at'=a(s+'),F=W+W。 由文献c1中附求1，并将{}转换成坐标{：}： .o,∫er〔g--y\ +o装4w业-门 R3 +ow1a.影Ψ，"g-r门 +a:〔"7R+3+器 =c-UD,s+∫0.D,s (3c) 453

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