从物理上看，解方程时所设的瓦(”) 实际上就是波 数k,= n元 弦两端固定时，弦的端点必是波节（杆端点 自由时，两端必是波腹)，所以弦的长度1应是波长一 半的整数倍.即 元 1= n 2 而kn= 2兀 即= 2π 2 2元 l=n k 16
16 ( ) n n l 从物理上看，解方程时所设的 = 实际上就是波 数 弦两端固定时，弦的端点必是波节（杆端点 自由时，两端必是波腹），所以弦的长度l 应是波长一 半的整数倍. 即 2 l n = 2 2 = n n k k 而 = 即 2 2 n l n k = n n k l = n n k l =
②本征频率（固有频率）0，= nπa πO n=1,01= 基频 1 小4w1+8受j小m牙 基波（基音） nπOx n>1,0n= 一谐频 nπ nπ sinr 谐波（泛音） 基频决定了音调的高低，而谐波的存在以及各种 谐波成份的多少决定了乐器的音品（音色）
17 ② 本征频率（固有频率） n n l = 1 n 1, l = = ( ) 1 1 1 u x t A t B t x , cos sin sin l l l = + ( , cos sin sin ) n n n n n n u x t A t B t x l l l = + 1, n n n l = —— 基频 —— 基波（基音） —— 谐频 —— 谐波（泛音） 基频决定了音调的高低，而谐波的存在以及各种 谐波成份的多少决定了乐器的音品（音色）
∫= 0-π111T 2元 12 21 对弦乐器来说，当弦变短，线变细（p变小 ),张得更紧（变大），则音调升高；反之 ，音调降低. 18
18 1 1 1 1 1 2 2 2 2 T f l l l = = = = 对弦乐器来说，当弦变短，线变细（ρ变小 ），张得更紧（T变大），则音调升高；反之 ，音调降低
例1.一长为的弦两端固定，在初始时刻弦的形状是一条 以弦的中点的垂线为对称轴的抛物线，并且在没有速度 的情况下开始振动.试求弦自由振动的情况. 19
19 例1. 一长为l的弦两端固定,在初始时刻弦的形状是一条 以弦的中点的垂线为对称轴的抛物线,并且在没有速度 的情况下开始振动.试求弦自由振动的情况
③傅立叶级数法 驻领解为：z-夏wm吧风受小加竿： 强烈地提示它就是傅立叶级数，我们从另一角度把 求解重新叙述一下： 4,-a2un=0 (0<x<l,t>0)月 泛定方程 4e=(x,4,=(x) (0<x<I: 初始条件 4e=0,4e=0 (t>0: 边界条件 参照边界条件，试把解u化，)展成傅立叶正弦级数 20
20 ③傅立叶级数法 ( ) 1 , cos sin sin n n n n n n u x t A t B t x l l l = = + 驻波解为： 强烈地提示它就是傅立叶级数，我们从另一角度把 求解重新叙述一下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 , 0 ; , 0 ; 0, 0 0 . tt xx t t t x x l u u x l t u x u x x l u u t = = = = − = = = = = 泛定方程 初始条件 边界条件 参照边界条件，试把解u (x, t)展成傅立叶正弦级数