般解 (小-2xz间-4o+Bnjm= 由初始条件：4=（以→创-立，血受 v(-2.受x其g,(in5 →&=应g.-小（管 11
11 ( ) 0 , t t u x = 由初始条件： = ( ) 1 sin n n n n x B x l l = = ( ) 1 sin , n n n x x l = = ( ) 0 2 其中 sin . l n n d l l = ( ) 0 2 sin . l n n l n B d n n l = = ( ) ( ) ( ) 1 1 , cos sin sin n n n n n n n n n u x t X x T t A t B t x l l l = = = = + 一般解
综上：4n-a2ux=0 (0<x<l,t>0)月 4。=p(x),44l=y(x) (0<x<); 4xeo=0,4e=0 (t>0). (-到1-8学小宁： =负a(m于弼、且am气 12
12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 , 0 ; , 0 ; 0, 0 0 . tt xx t t t x x l u u x l t u x u x x l u u t = = = = − = = = = = 综上： ( ) 1 , cos sin sin n n n n n n u x t A t B t x l l l = = + ( ) 0 2 sin , l n n n A d l l = = ( ) 0 2 sin . l n n l n B d n n l = =
求 偏微分 解1 分离 常微分方程1 本征解 方程 变数 解2 解1×解2 过 常微分方程2 齐次边 分离 界条件 变数 条件 本征函数 程 本征值问题 图 一般解=∑ 本征解 解 初始条件 确定迭 本征值 加系数 这个过程可归结成下述四句话： 定解条件写完整，边界条件齐次化； 四项步骤循序解，本征问题是关键 13
13 分离 变数 分离 变数 解1 解2 本征函数 本征解 解1解2 本征值问题 一般解＝ 本征值 本征解 偏微分 方程 齐次边 界条件 初始条件 常微分方程1 常微分方程2 条件 求 解 过 程 图 解 确定迭 加系数 这个过程可归结成下述四句话: 定解条件写完整, 边界条件齐次化; 四项步骤循序解, 本征问题是关键
讨论 ① 本征解山化，)代表一种驻波，弦的振动则是许许多多驻 波的线性迭加. (x,)=∑4.(x,) =V42+B A 0+ =sin -t sin -x NA+B。 +B, 令：Cn=V42+B,7,6=g B 上式=c(in."T+cs.sn8小m听 k.= -C.+6.sinxC.sink.xsin(@.+6) 1n元Q 0n=
14 讨论 ① 本征解un (x, t)代表一种驻波，弦的振动则是许许多多驻 波的线性迭加. ( , , ) ( ) n n u x t u x t = ( , cos sin sin ) n n n n n n u x t A t B t x l l l = + 2 2 2 2 2 2 cos sin sin n n n n n n n n A B n n n A B t t x A B A B l l l = + + + + 上式 n n n sin cos cos sin sin n n n C t t x l l l = + 2 2 1 令： , n n n n n n A C A B tg B − = + = n n n n n n sin sin sin sin( ) n n C t x C k x t l l = + = + , n n n k l n l = =
从4n（x,)=C,sink,xsin(o,t+6)可看出，弦上任一点(x固定) 都以同一圆频率on作简谐振动，振幅为C sink x|; 弦线在任一时刻（t固定)的形状都是正弦曲线状. six=0→=m,m=0,12,. 有n+1个波节 m=0,1,2,(n-1.有n个波腹 相邻两波节之间各点的位相相同，波节两边各点的位相相反 n=5 =
15 从 可看出，弦上任一点（x固定） 都以同一圆频率n作简谐振动，振幅为 ； 弦线在任一时刻（t固定）的形状都是正弦曲线状. ( , sin sin ) ( ) n n n n n u x t C k x t = + | sin | C k x n n sin 0 n x l = , 0,1,2, , . m l x m m n n = = 有n + 1个波节 sin 1 n x l = ( ) 1 , 0,1,2, , 1 . 2 m － l x m m n n = + = 有n 个波腹 相邻两波节之间各点的位相相同，波节两边各点的位相相反. 0 l n = 1 0 l n = 2 2 l 0 l n = 5 5 l 2 5 l 3 5 l 4 5 l