这里除了自变数x外，还有另一个自变数t,因此u(x,)的傅立 叶系数不是常数，而是的函数。 (=27.()sinx 代入泛定方程得： 0+“2xr0n贤=t 一个傅立叶级数等于零，意味着各个系数为零： 222 2Tn=0 Tn()的常微分方程 12 (cB sin tua →x小-w"+,m"小 匹x 其中常数A,、B的确定与前面相同，由初始条件决定. 21
21 这里除了自变数x外，还有另一个自变数t，因此u (x, t)的傅立 叶系数不是常数，而是t的函数。 ( ) ( ) 1 , sin n n n u x t T t x l = = 代入泛定方程得： ( ) ( ) 2 2 2 '' 2 1 sin 0 n n n n n T t T t x l l = + = 一个傅立叶级数等于零，意味着各个系数为零. 2 2 2 '' 2 0 n n n T T l + = Tn (t)的常微分方程 ( ) cos sin n n n n n T t A t B t l l = + ( ) 1 , cos sin sin n n n n n n u x t A t B t x l l l = = + 其中常数An、Bn的确定与前面相同，由初始条件决定
nπ 其中常数A、Bn的确定与前面相同，由初始条件 决定. 这个方法的关键在于分离出T,()的常微分方程， 其中不可混杂另一自变数x.这是如何做到的呢？ 原来，这个级数展开的基本函数sn怀x正是分离 变数法求得的本征函数，该方法并不独立 22
22 这个方法的关键在于分离出Tn (t)的常微分方程， 其中不可混杂另一自变数x. 这是如何做到的呢？ sin n x l 原来，这个级数展开的基本函数 正是分离 变数法求得的本征函数，该方法并不独立. ( ) 1 , cos sin sin n n n n n n u x t A t B t x l l l = = + 其中常数An、Bn的确定与前面相同，由初始条件 决定
思考题： 1.怎样才能构成本征问题？简述本征问题的特征！ 2.从分离变量法分离出来的两个常微分方程是否 是相互联系的？ 3.在用分离变量法解数理方程的定解问题前，为什 么首先要注意把边界条件齐次化？如果不把边界条 件齐次化，是否仍能把问题解出？ 23
23 思考题: 1.怎样才能构成本征问题?简述本征问题的特征. 2.从分离变量法分离出来的两个常微分方程是否 是相互联系的? 3.在用分离变量法解数理方程的定解问题前,为什 么首先要注意把边界条件齐次化?如果不把边界条 件齐次化,是否仍能把问题解出?
§8.2非齐次边界条件 上节的分离变数法的前提：边界条件必须是齐次的。 ug-a'ug-0 对于非齐次 边界条件时 4=p(x),4,=y(x) (0<x<h,t>0) 4=f),4=f() 边界条件齐次化，设：(，)=(，)+w(,) w,满足：w(x,=f),w(x,=f() →(x,t儿=0，(x=0 24
24 §8.2 非齐次边界条件 上节的分离变数法的前提：边界条件必须是齐次的。 边界条件齐次化，设： u x t v x t w x t ( , , , ) = + ( ) ( ) w (x ,t)满足: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , , , x x l w x t f t w x t f t = = = = ( ) ( ) 0 , 0, , 0 x x l v x t v x t = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 2 0 , , tt xx t t t x x l u a u u x u x u f t u f t = = = = − = = = = = 对于非齐次 边界条件时 (0 , 0 x l t )
此时y(比，)的边界是齐次的，可用分离变量法求 出y(c,) 满足：w=f(),W=f()条件的w化，很多. 设：w(x,)=M()+B(d)→B()=f(d), )=4)+@→A0=无- →(x,)=f)+[)-f0] →(x,=(x+(+L方（④- 25
25 此时v (x, t)的边界是齐次的，可用分离变量法求 出v (x, t). 满足： 1 2 ( ) ( ) 条件的w (x, t)很多. 0 , x x l w f t w f t = = = = 设： w x t xA t B t ( , ) = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 f t lA t f t = + ( ) ( ) 1 B t f t = , ( ) ( ) ( ) 2 1 1 A t f t f t l = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , x w x t f t f t f t l = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , , x u x t v x t f t f t f t l = + + −