(2)解本征值方程 X"+2X=0, 本征值问题 讨论： X(0)=0,X()=0. ① 当入<0时， →X(y)=ceF+c,eFa 积分常数c1、c2由边界条件确定 9+C2=0 +ce=0 G1=0,C2=0 驻波u(比，)没有意义 ②当=0时，>X(x)=Gx+c2 积分常数c1、c2由边界条件确定 J92=0 (cl+c2 =0 >C1=0,c2=0 驻波u比，t)没有意义 6
6 ( ) ( ) '' 0, 0 0, 0. X X X X l + = = = 本征值问题 讨论： ① 当 < 0时， 积分常数c1、c2由边界条件确定 1 2 1 2 0 0 l l c c c e c e − − − + = + = 1 2 c c = = 0, 0 驻波u (x, t)没有意义 ② 当 ＝ 0时， 积分常数c1、c2由边界条件确定 2 1 2 0 0 c c l c = + = 1 2 c c = = 0, 0 驻波u (x, t)没有意义 ( ) 1 2 x x X x c e c e − − − = + ( ) X x c x c 1 2 = + (2)解本征值方程
③ 当入>0时，>X(x)=c,cos/Ax+c2 sin几x 积分常数c1、c2由边界条件确定 G1=0 csin√nl=0 除sin√1=0外，G=0,2=0,驻波u(比t)没有意义. sin√元l=0>√2nl=n,n=1,2,3,. =23 本征值 分离变量引入的常数)必须大于零，而且也不能是任意正数 →X.(x)=6,r sinx 本征函数
7 ③ 当 > 0时， ( ) 1 2 X x c x c x = + cos sin 积分常数c1、c2由边界条件确定 1 2 0 sin 0 c c l = = 除 sin 0 l = 外， c c 1 2 = = 0, 0 ，驻波u (x, t)没有意义. sin 0 l = , 1,2,3, n l n n = = 2 2 2 , 1,2,3, n n n l = = 本征值 分离变量引入的常数n必须大于零，而且也不能是任意正数. ( ) 2 n sin n X x c x l = 本征函数
(3)求余下的不构成本征问题的常微分方程的通解 把本征值 n2π2 代入T()的方程 12 T(的方程改为 a=0. 2 >工()=g0s"1+c,sin",g、6,为常数 8
8 2 2 n 2 n l = 2 2 2 2 '' 0. n n n T T l T (t)的方程改为 + = ： ( ) 3 4 cos sin n n n T t c t c t l l = + c3、c4为常数 (3)求余下的不构成本征问题的常微分方程的通解 把本征值 代入 T(t)的方程
本征解 每一个n对应一种驻波. x=0,(/n,2(ln),3(llm,n(l/n)=l 节点 波长：2=2l1n 本征解u(化，)满足定解方程和边界条件，但不一定满 足初始条件，设想将这些本征解线性迭加，找出满足 初始条件的解. 从数学上看，由于泛定方程和边界条件都是线性的， 本征解的线性迭加也应该满足定解方程和边界条件
9 ( , cos sin sin , 1,2,3, ) n n n n n n u x t A t B t x n l l l = + = 每一个n对应一种驻波. x l n l n l n n l n l = = 0, / ,2 / ,3 / , , / ( ) ( ) ( ) ( ) 本征解 波长： = 2 / l n 本征解un (x, t)满足定解方程和边界条件，但不一定满 足初始条件，设想将这些本征解线性迭加，找出满足 初始条件的解. 从数学上看，由于泛定方程和边界条件都是线性的， 本征解的线性迭加也应该满足定解方程和边界条件. 节点
(4)由傅立叶级数定系数 般解 -立x.(z)-248+®"小m受 由初始条件：4=9(，→p()=之4simx 上式的右边是正弦傅立叶级数，因此可将(x)展成傅立叶级数. p()=2a,sin,其49.=()sin55 0 →4=a.=()sn55 10
10 ( ) ( ) ( ) 1 1 , cos sin sin n n n n n n n n n u x t X x T t A t B t x l l l = = = = + 一般解 ( ) 0 , t u x = 由初始条件： = ( ) 1 n sin n n x A x l = = (4)由傅立叶级数定系数 ( ) 1 sin n n n x A x l = = 上式的右边是正弦傅立叶级数，因此可将 ( x) 展成傅立叶级数. ( ) 1 sin , n n n x x l = = ( ) 0 2 其中 sin . l n n d l l = ( ) 0 2 sin . l n n n A d l l = =