《现代控制理论基础》第五章(讲义) 因为 Hermite型比二次型更具一般性(对于实向量x和实对称矩阵P, Hermite 型x"Px等于二次型x2Px) 二次型或者 Hermite型v(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指 出,二次型或 Hermite型V(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均 为正值,即 P1P12 PI P1>0 P1!P1 P21P2 P2n>0 P12P2 注意,是P的复共轭。对于二次型,F=P 如果P是奇异矩阵,且它的所有主子行列式均非负,则V(x)=xPx是正半 定的 如果-V(x)是正定的,则V(x)是负定的。同样,如果-V(x)是正半定的, 则V(x)是负半定的。 [例5.2]试证明下列二次型是正定的 r(x)=10x2+4x2+x2+2x1x2-2x2x3-4xx3 次型V(x)可写为 10 [x1x2x3] 利用赛尔维斯特准则,可得 101 10>0 >0.14-1>0 因为矩阵P的所有主子行列式均为正值,所以V(x)是正定的 5.3 Lyapunov稳定性理论 1892年,A.M. Lyapunov提出了两种方法(称为第一法和第二法),用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。 第二法不需求出微分方程的解,也就是说,采用 Lyapunov第二法,可以在 不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 6 因为 Hermite 型比二次型更具一般性（对于实向量 x 和实对称矩阵 P，Hermite 型 x Px H 等于二次型 x Px T ）。 二次型或者 Hermite 型 V (x) 的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指 出，二次型或 Hermite 型 V (x) 为正定的充要条件是矩阵 P 的所有主子行列式均 为正值，即 0, 0, , 0 1 2 21 22 2 11 12 1 12 22 11 12 11 n n nn n n p p p p p p p p p p p p p p 注意， ij p 是 ij p 的复共轭。对于二次型， pij = pij 。 如果 P 是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则 V x x Px H ( ) = 是正半 定的。 如果 -V (x) 是正定的，则 V (x) 是负定的。同样，如果 -V (x) 是正半定的， 则 V (x) 是负半定的。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.2] 试证明下列二次型是正定的。 V(x) = 10x + 4x + x + 2x x − 2x x − 4x x 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 二次型 V (x) 可写为 − − − − = = 3 2 1 1 2 3 2 1 1 1 4 1 10 1 2 ( ) [ ] x x x V x x Px x x x T 利用赛尔维斯特准则，可得 0 2 1 1 1 4 1 10 1 2 0, 1 4 10 1 10 0, − − − − 因为矩阵 P 的所有主子行列式均为正值，所以 V (x) 是正定的。 ------------------------------------------------------------------ 5.3 Lyapunov 稳定性理论 1892 年，A.M.Lyapunov 提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。 第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用 Lyapunov 第二法，可以在 不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 变系统的状态方程通常十分困难,所以这种方法显示出极大的优越性。 尽管采用 Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时,需要相当的经验和 技巧,然而当其他方法无效时,这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 5.3.1 Lyapunov第一法 基本思路是:首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的特征值,最 后则是判定原非线性系统的稳定性 5.3.2 Lyapunov第二法 由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续 减小(这意味着总能量对时间的导数必然是负定的),直到平衡状态时为止,则 振则系统是稳定的 Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的,即:如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着 时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统, 毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难, Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数,称为 Lyapunov函数。当然,这个函数无疑比能量 更为一般,并且其应用也更广泛。实际上,任一纯量函数只要满足 Lyapunov稳 定性定理(见定理5.1和5.2)的假设条件,都可作为 Lyapunov函数(可能十 分困难)。 Lyapunov函数与x1,x2,…,x和t有关,我们用v(x12x2…,xn,1)或者V(x,1)来 表示 Lyapunov函数。如果在 Lyapunov函数中不含t,则用V(x1,x2…xn)或V 表示。在 Lyapunov第二法中,(x,1)和其对时间的导数(x,1)=d(x,)/d的符 号特征,提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则,而不 必直接求出方程的解(这种方法既适用于线性系统,也适用于非线性系统)。 1、关于渐近稳定性 可以证明:如果x为n维向量,且其纯量函数V(x)正定,则满足 (x)=C 的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,式中C是正 常数。随着|→∞,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1<C2,则超 曲面(x)=C1完全处于超曲面(x)=C2的内部。 对于给定的系统,若可求得正定的纯量函数(x),并使其沿轨迹对时间的 导数总为负值,则随着时间的增加,卩(x)将取越来越小的C值。随着时间的进
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 7 变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。 尽管采用 Lyapunov 第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和 技巧，然而当其他方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 5.3.1 Lyapunov 第一法 基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最 后则是判定原非线性系统的稳定性。 5.3.2 Lyapunov 第二法 由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续 减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则 振则系统是稳定的。 Lyapunov 第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着 时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统， 毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数，称为 Lyapunov 函数。当然，这个函数无疑比能量 更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足 Lyapunov 稳 定性定理（见定理 5.1 和 5.2）的假设条件，都可作为 Lyapunov 函数（可能十 分困难）。 Lyapunov 函数与 n x , x , , x 1 2 和 t 有关，我们用 ( , , , , ) 1 2 V x x x t n 或者 V(x,t) 来 表示 Lyapunov 函数。如果在 Lyapunov 函数中不含 t,则用 ( , , , ) 1 2 n V x x x 或 V (x) 表示。在 Lyapunov 第二法中， V(x,t) 和其对时间的导数 V(x,t) = dV(x,t)/ dt 的符 号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不 必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。 1、关于渐近稳定性 可以证明：如果 x 为 n 维向量，且其纯量函数 V (x) 正定，则满足 V (x) = C 的状态 x 处于 n 维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中 C 是正 常数。随着 x → ，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果 C1 C2 ，则超 曲面 1 V(x) = C 完全处于超曲面 2 V(x) = C 的内部。 对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数 V (x) ，并使其沿轨迹对时间的 导数总为负值，则随着时间的增加， V (x) 将取越来越小的 C 值。随着时间的进
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 步增长,最终(x)变为零,而x也趋于零。这意味着,状态空间的原点是渐 近稳定的。 Lyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳定 的充要条件。该定理阐述如下: 定理5.1① Lyapunov,皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基)考虑如下非线性 系统 x(1)=f(x(1),t) 式中 f(0,1)=0,对所有t≥ 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数(x,1),且满足以下条件: 1、(x,1)正定; 2、V(x,)负定 则在原点处的平衡状态是(一致)渐近稳定的 进一步地,若x→∞,(x,1)→∞,则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。 [例5.3]考虑如下非线性系统 元=x2-x1(x1+x2) 2=-x1-x2(x2+x2) 显然原点(x1=0,x2=0)是唯一的平衡状态。试确定其稳定性 如果定义一个正定纯量函数r(x) (x)=2x+2x2x2-2(x2+x2)2 是负定的,这说明I(x)沿任一轨迹连续地减小,因此V(x)是一个 Lyapunov函数 由于I(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷,则按照定理5.1,该系统在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意,若使V(x)取一系列的常值0C1,C2,…(0<C1<C2<…),则V(x)=0 对应于状态平面的原点,而V(x)=C1,V(x)=C2,…,描述了包围状态平面原 点的互不相交的一簇圆,如图5.2所示。还应注意,由于V(x)在径向是无界的, 即随着|→∞,V(x)→∞,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。 由于圆(x)=C4完全处在I(x)=Ck的内部,所以典型轨迹从外向里通过V圆的 边界。因此 Lyapunov函数的几何意义可阐述如下(x)表示状态x到状态空间原 点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态x(υ)之间的距离随t的增加而连续地 减小(即(x(1)<0),则x(1)→0
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 8 一步增长，最终 V (x) 变为零，而 x 也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐 近稳定的。Lyapunov 主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定 的充要条件。该定理阐述如下： 定理 5.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性 系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t) 0 , 对所有 0 t t 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 正定； 2、V(x,t) 负定 则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。 进一步地，若 x → ，V(x,t) → ，则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.3] 考虑如下非线性系统 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x = − − + = − + 显然原点（ x1 = 0， x2 = 0 ）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。 如果定义一个正定纯量函数 V (x) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 V(x) = 2x x + 2x x − 2(x + x ) 是负定的，这说明 V (x) 沿任一轨迹连续地减小，因此 V (x) 是一个 Lyapunov 函数。 由于 V (x) 随 x 偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理 5.1，该系统在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意，若使 V (x) 取一系列的常值 0, C1 , C2 , （ 0 C1 C2 ），则 V (x) =0 对应于状态平面的原点，而 1 V(x) = C ， 2 V(x) = C ，…，描述了包围状态平面原 点的互不相交的一簇圆，如图 5.2 所示。还应注意，由于 V (x) 在径向是无界的， 即随着 x → ，V (x) → ，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。 由于圆 Ck V(x) = 完全处在 1 ( ) = Ck+ V x 的内部，所以典型轨迹从外向里通过 V 圆的 边界。因此 Lyapunov 函数的几何意义可阐述如下 V (x) 表示状态 x 到状态空间原 点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态 x(t)之间的距离随 t 的增加而连续地 减小（即 V(x(t)) 0 ），则 x(t) → 0
《现代控制理论基础》第五章(讲义) V增大 图5.2常数V圆和典型轨迹 定理5.1是 Lyapunov第二法的基本定理,下面对这一重要定理作几点说明。 (1)这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了 Lyapunov函数 (x,D),那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的 Lyapunov函数,我 们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定的 (2)对于渐近稳定的平衡状态,则 Lyapunov函数必存在 (3)对于非线性系统,通过构造某个具体的 Lyapunov函数,可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统,如果存在渐近稳定的平衡状态,则它必定是大范围渐近稳定的。 (4)我们这里给出的稳定性定理,既适合于线性系统、非线性系统,也适合 于定常系统、时变系统,具有极其一般的普遍意义 显然,定理5.1仍有一些限制条件,比如(x,)必须是负定函数。如果在 (x,)上附加一个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹r(x,)均不恒等于零, 则要求(x,)负定的条件可用(x,1)取负半定的条件来代替 定理5.2(克拉索夫斯基,巴巴辛)考虑如下非线性系统 x(t)=f(x(1),t 式中 f(0,)=0,对所有t≥10 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数I(x,1),且满足以下条件 1、V(x,)是正定的 2、I(x,1)是负半定的 3、(;x0,t0,对于任意t0和任意x0≠0,在t≥0时,不恒等于零,其中 的Φ(tx,0)表示在t时从x出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的 注意,若(x,1)不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面v(x,)=C相切,然而由于(x0,10,对任意10和任意x0≠0,在
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 9 图 5.2 常数 V 圆和典型轨迹 ------------------------------------------------------------------ 定理 5.1 是 Lyapunov 第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了 Lyapunov 函数 V(x,t) ，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的 Lyapunov 函数，我 们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。 (2) 对于渐近稳定的平衡状态，则 Lyapunov 函数必存在。 (3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的 Lyapunov 函数，可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。 (4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合 于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。 显然，定理 5.1 仍有一些限制条件，比如 V(x,t) 必须是负定函数。如果在 V(x,t) 上附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹 V(x,t) 均不恒等于零， 则要求 V(x,t) 负定的条件可用 V(x,t) 取负半定的条件来代替。 定理 5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t) 0 , 对所有 0 t t 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 是正定的； 2、V(x,t) 是负半定的； 3、 [ ( ; , ), ] 0 0 V t x t t 对于任意 0 t 和任意 x0 0 ，在 0 t t 时，不恒等于零，其中 的 ( ; , ) 0 0 t x t 表示在 0 t 时从 0 x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。 注意，若 V(x,t) 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面 V(x,t) =C 相切，然而由于 [ ( ; , ), ] 0 0 V t x t t 对任意 0 t 和任意 x0 0 ，在