石河子大学：《计量经济学》课程PPT教学课件（硕士生）第四章 经典单方程计量经济学模型（放宽基本假定的模型 Relaxing the Assumptions of the Classical Model）4.3 多重共线性 Multicollinearity 4.4 随机解释变量问题 Random Explanatory Variables

1、完全共线性下参数估计量不存在 Y=XB+u B=(XXXY 如果存在完全共线性，则XX不存在，无法得 到参数的估计量

1、完全共线性下参数估计量不存在 如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在，无法得 到参数的估计量。 Y = Xβ+μ β= XX XY −1 ( ) ˆ

2、近似共线性下OLS估计量非有效 近似共线性下，可以得到OLS参数估计量，但 参数估计量方差的表达式为 Cov(B)=o2(X'X) 由于XX0,引起XX)主对角线元素较大， 使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有 效

2、近似共线性下OLS估计量非有效 • 近似共线性下，可以得到OLS参数估计量，但 参数估计量方差的表达式为 由于|X’X|0，引起(X’X) -1主对角线元素较大， 使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有 效。 2 1 ) ( ) ˆ ( − Cov β =  XX

以二元线性模型y=B1+p2x2+4为例： o2∑号 σ21∑x a)=oXΣ∑2x,x1-x广/∑Σ 03 1 ∑1- (∑xx尸 ∑∑喝 恰为X,与X2的线性相关系数的平方r2 由于2≤1，故1/(1-2)≥1

• 以二元线性模型 y= 1x1+2x2+ 为例:         − = − =  = − 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) / ( ) ) ( ) ˆ var( i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x X X     2 2 1 2 1 1 x r i − =       2 2 2 1 2 1 2 ( ) i i i i x x x x 恰为X1与X2的线性相关系数的平方r 2 由于 r 2 1，故 1/(1- r 2 )1

当完全不共线时，2=0 var(B,)=o2/∑x 当近似共线时，0<2<1 O 2 多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r)为 方差膨胀因子(Variance Inflation Factor,.VIF) 表4.3.1方差膨胀因子表 相关系数平方 0 0.50.8 0.9 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.999 方差膨胀因子 1 2 5 10 20 25 33 50 100 1000 当完全共线时， r2=1, var(B)=co

多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r 2 )为 方差膨胀因子(Variance Inflation Factor, VIF) 当完全不共线时, r 2 =0 =  2 1 2 1 ) / ˆ var( i   x 当近似共线时, 0< r 2 <1    − =  2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ) ˆ var( i i x r x    表 4.3.1 方差膨胀因子表 相关系数平方 0 0.5 0.8 0.9 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.999 方差膨胀因子 1 2 5 10 20 25 33 50 100 1000 当完全共线时， r 2=1， var( ˆ 1 ) = 

3、参数估计量经济含义不合理 如果模型中两个解释变量具有线性相关性， 例如X2=入X1, 这时，X和X前的参数B1、B2并不反映各 自与被解释变量之间的结构关系，而是反映 它们对被解释变量的共同影响。 B1、B2已经失去了应有的经济含义，于是 经常表现出似乎反常的现象：例如β1本来应 该是正的，结果恰是负的

3、参数估计量经济含义不合理 • 如果模型中两个解释变量具有线性相关性， 例如 X2= X1， 这时，X1和X2前的参数1、2并不反映各 自与被解释变量之间的结构关系，而是反映 它们对被解释变量的共同影响。 1、2已经失去了应有的经济含义，于是 经常表现出似乎反常的现象：例如1本来应 该是正的，结果恰是负的