Gibbs自由能 Gibbs自由能，实验上常用 G=G(T.p)=U-TS+pV=F+pV dG=-SdT Vdp V=V(T.p)= 状态方程 S=sT,p)=-(39, c,=r),=-)。 等压热容
Gibbs 自由能 Gibbs 自由能，实验上常用 𝐺 = 𝐺(𝑇, 𝑝) = 𝑈 − 𝑇 𝑆 + 𝑝𝑉 = 𝐹 + 𝑝𝑉 𝑑𝐺 = −𝑆𝑑𝑇 + 𝑉 𝑑𝑝 𝑉 = 𝑉(𝑇, 𝑝) = 𝜕𝐺 𝜕 𝑝 𝑇 ✞ ✝ ☎ 状态方程 ✆ 𝑆 = 𝑆(𝑇, 𝑝) = − 𝜕𝐺 𝜕𝑇 𝑝 𝐶𝑝 = 𝑇 𝜕𝑆 𝜕𝑇 𝑝 = −𝑇 𝜕 2𝐺 𝜕𝑇2 𝑝 ✞ ✝ ☎ 等压热容 ✆
特性函数 选取特定自变量，特性函数就确定下来 U(S,V),H(S,p),F(T,V),G(T,p) 除此之外还有 dU =Tds-pdv 3 dU P ds=T+Tdv S=S(U,V) dnz=ds-U/m=-Ua号+号aw Z=Z( G 选好一组自变量，只有相应特性函数才包含所有信息 例如以(T,V)为自变量时，特性函数F(T,V)包含所有信息， 但是U(T,V则非如此 所有特性函数包含信息相同，选取哪个凭个人偏好和方便 选取任何一个特性得到的结果都相同，可以互相转换
特性函数 ☞ 选取特定自变量，特性函数就确定下来 𝑈(𝑆, 𝑉), 𝐻(𝑆, 𝑝), 𝐹(𝑇, 𝑉), 𝐺(𝑇, 𝑝) ☞ 除此之外还有 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 ⇒ 𝑑𝑆 = 𝑑𝑈 𝑇 + 𝑝 𝑇 𝑑𝑉 𝑆 = 𝑆(𝑈, 𝑉) 𝑑 ln 𝑍 = 𝑑(𝑆 − 𝑈/𝑇) = −𝑈𝑑 1 𝑇 + 𝑝 𝑇 𝑑𝑉 𝑍 = 𝑍( 1 𝑇 , 𝑉) · · · ☞ 选好一组自变量，只有相应特性函数才包含所有信息 例如以 (𝑇, 𝑉) 为自变量时，特性函数 𝐹(𝑇, 𝑉) 包含所有信息， 但是 𝑈(𝑇, 𝑉) 则非如此 ☞ 所有特性函数包含信息相同，选取哪个凭个人偏好和方便 选取任何一个特性得到的结果都相同，可以互相转换
3.4 Jacobi行列式 在计算热力学量以及它们之间的关系时，经常会涉及变量变换时 偏微分之间的关系。这些关系可以用Jacobi行列式计算。 u u(x,y）) v(x,y) du dx+ dy y dv dx+ 殷 器
3.4 Jacobi 行列式 在计算热力学量以及它们之间的关系时，经常会涉及变量变换时 偏微分之间的关系。这些关系可以用 Jacobi 行列式计算。 𝑢 𝑣 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 𝑑𝑦 ª ® ® ¬ = © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝐽 𝑢𝑣 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐽 𝑢𝑣 𝑥𝑦 = © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ 𝜕(𝑢𝑣) 𝜕(𝑥𝑦) = 𝐽 𝑢𝑣 𝑥𝑦 = © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦
Jacobi行列式 Q偏微分用Jacobi表示 a(uy) a(xy) 离g Q交互奇数行/列一行列式变号 8(uw) a(vu) a(uv) a(vu) a(xy) a(xy) a(yx) a(yx) 器
Jacobi 行列式 偏微分用 Jacobi 表示 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 = 𝜕(𝑢𝑦) 𝜕(𝑥𝑦) = © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 0 1 ! 交互奇数行/列 ⇒ 行列式变号 𝜕(𝑢𝑣) 𝜕(𝑥𝑦) = − 𝜕(𝑣𝑢) 𝜕(𝑥𝑦) = − 𝜕(𝑢𝑣) 𝜕(𝑦𝑥) = 𝜕(𝑣𝑢) 𝜕(𝑦𝑥) © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ = − © « 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ = − © « 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 ª ® ® ¬
Jacobi行列式 矩阵乘积的行列式=行列式的乘积 u=u(x,y) s=s(u,v)=s(u(x,y),v(x,y))=s(x,y) v=v(x,y) t=t(u,v)=t(u(x,y),v(x,y))=t(x,y) dv dy dx ), dy a(s,t) a(s,1)a(u,v) a(x,y) a(u,v)a(x,y)
Jacobi 行列式 矩阵乘积的行列式 = 行列式的乘积 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑠 = 𝑠(𝑢, 𝑣) = 𝑠(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) = 𝑠(𝑥, 𝑦) 𝑡 = 𝑡(𝑢, 𝑣) = 𝑡(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) = 𝑡(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = © « 𝜕𝑠 𝜕𝑢 𝑣 𝜕𝑠 𝜕𝑣 𝑢 𝜕𝑡 𝜕𝑢 𝑣 𝜕𝑡 𝜕𝑣 𝑢 ª ® ¬ 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = © « 𝜕𝑠 𝜕𝑢 𝑣 𝜕𝑠 𝜕𝑣 𝑢 𝜕𝑡 𝜕𝑢 𝑣 𝜕𝑡 𝜕𝑣 𝑢 ª ® ¬ © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = © « 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜕(𝑠, 𝑡) 𝜕(𝑥, 𝑦) = 𝜕(𝑠, 𝑡) 𝜕(𝑢, 𝑣) 𝜕(𝑢, 𝑣) 𝜕(𝑥, 𝑦)