Jacobi行列式 Q逆矩阵的行列式=行列式的逆 u=u(x,y) 逆方程 x=x(u,v) v=v(x,y) y=y(u,v) dx du 歌 器 v a(x,y) (u,v) a(u,v) a(x,y)
Jacobi 行列式 逆矩阵的行列式 = 行列式的逆 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) 逆方程 ========⇒ 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = © « 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑥 ª ® ® ¬ −1 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = © « 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝑢 ª ® ¬ 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑢, 𝑣) = 1/ 𝜕(𝑢, 𝑣) 𝜕(𝑥, 𝑦)
Jacobi行列式 对多个变量同样成立 du a(u,y,z,…) 0xy,.… d(x,y,z,) au,,w,） a(v,u,w,..)d(u,w,v,..)a(u,v,w,...) 0 8(x,y,z,) x,y,z,)(x,y,乙， ay,x,z,） 0(u,v,w,）0(p,q,r,…） a(u,V,w,…) 8(p,q,r,…）8(x,y,3,） d(x,y,z,..) a(x,y,z,) C4.v.=11aaw.. 8(x,y,,）
Jacobi 行列式 对多个变量同样成立 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑦,𝑧,··· = 𝜕(𝑢, 𝑦, 𝑧, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) = − 𝜕(𝑣, 𝑢, 𝑤, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) = − 𝜕(𝑢, 𝑤, 𝑣, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) = − 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤, · · ·) 𝜕(𝑦, 𝑥, 𝑧, · · ·) · · · 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤, · · ·) 𝜕(𝑝, 𝑞, 𝑟, · · ·) 𝜕(𝑝, 𝑞, 𝑟, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) = 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤, · · ·) 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) = 1/ 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧, · · ·) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤, · · ·)
Jacobi行列式和微分关系 (),=)。 a(x,z)1,0(y,z） a(y,z) 0(x,z） =川)。 。().()(),=-1 ).().),-80司 0(x,z)0,x)a(3,y) =-)98 0(3,x)8(y,z） a(y,z)a(z.x)a(.y) a(y.z)a(z.x) 8(3,x) 8(z,x)
Jacobi 行列式和微分关系 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑧 = 1/ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑧 = 𝜕(𝑥, 𝑧) 𝜕(𝑦, 𝑧) = 1/ 𝜕(𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑥, 𝑧) = 1/ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑦 = −1 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑦 = 𝜕(𝑥, 𝑧) 𝜕(𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑦, 𝑥) 𝜕(𝑧, 𝑥) 𝜕(𝑧, 𝑦) 𝜕(𝑥, 𝑦) = (−1) 3 𝜕(𝑧, 𝑥) 𝜕(𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑧, 𝑥) 𝜕(𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑥, 𝑦) = − 𝜕(𝑧, 𝑥) 𝜕(𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑧, 𝑥) = − 𝜕(𝑧, 𝑥) 𝜕(𝑧, 𝑥) = −1
3.5 Maxwell关系 ⑧光滑函数二阶偏微分和微分次序无关一Maxwell关系 axay 层1，--1 a2f- U=U(S,V) dU =Tds-pdv 82U a(T,S) 8(p,V a(p,V) a(v,s) a(s,V) a(v,S) 1= a(T,S)a(p,v) a(T,S)a(v,S)a(T,S) a(v,s)'a(v,s) a(v,S)a(p,v) a(p,V)
3.5 Maxwell 关系 ☞ 光滑函数二阶偏微分和微分次序无关 ⇒ Maxwell 关系 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 = h 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝑓 𝜕𝑦 𝑥 i 𝑦 = 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 = h 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝑓 𝜕𝑥 𝑦 i 𝑥 𝑈 = 𝑈(𝑆, 𝑉) 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑉 𝑆 = h 𝜕 𝜕𝑉 𝜕𝑈 𝜕𝑆 𝑉 i 𝑆 = 𝜕 2𝑈 𝜕𝑉 𝜕𝑆 = 𝜕 2𝑈 𝜕𝑆𝜕𝑉 = h 𝜕 𝜕𝑆 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝑆 i 𝑉 = 𝜕(−𝑝) 𝜕𝑆 𝑉 = − 𝜕 𝑝 𝜕𝑆 𝑉 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑉, 𝑆) = − 𝜕(𝑝, 𝑉) 𝜕(𝑆, 𝑉) = 𝜕(𝑝, 𝑉) 𝜕(𝑉, 𝑆) 1 = 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑉, 𝑆) / 𝜕(𝑝, 𝑉) 𝜕(𝑉, 𝑆) = 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑉, 𝑆) 𝜕(𝑉, 𝑆) 𝜕(𝑝, 𝑉) = 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑝, 𝑉)
3.5 Maxwell关系 每光滑函数二阶偏微分和微分次序无关一Maxwell关系 axay U=U(S,V) d0=TdS-pdW→ 0),=-). H=H(S,p) dH=TdS+vdp→ F=F(T,V) dF=-Sdr-pdW→ ,-。 G=G(T,p) dG=-Sdr+Vdp→ ，=。 霉可统一标记为 0T,义=1←热力学第一定律 a(p,v) 循环Q=dw→dnds a(T,S) an,74pdw=dpaw→ (T,) (p,V) =1
3.5 Maxwell 关系 ☞ 光滑函数二阶偏微分和微分次序无关 ⇒ Maxwell 关系 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 = h 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝑓 𝜕𝑦 𝑥 i 𝑦 = 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 = h 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝑓 𝜕𝑥 𝑦 i 𝑥 𝑈 = 𝑈(𝑆, 𝑉) 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 ⇒ 𝜕𝑇 𝜕𝑉 𝑆 = − 𝜕 𝑝 𝜕𝑆 𝑉 𝐻 = 𝐻(𝑆, 𝑝) 𝑑𝐻 = 𝑇 𝑑𝑆 + 𝑉 𝑑𝑝 ⇒ 𝜕𝑇 𝜕 𝑝 𝑆 = 𝜕𝑉 𝜕𝑆 𝑝 𝐹 = 𝐹(𝑇, 𝑉) 𝑑𝐹 = −𝑆𝑑𝑇 − 𝑝𝑑𝑉 ⇒ 𝜕𝑆 𝜕𝑉 𝑇 = 𝜕 𝑝 𝜕𝑇 𝑉 𝐺 = 𝐺(𝑇, 𝑝) 𝑑𝐺 = −𝑆𝑑𝑇 + 𝑉 𝑑𝑝 ⇒ 𝜕𝑆 𝜕 𝑝 𝑇 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝑝 ☞ 可统一标记为 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑝, 𝑉) = 1 ⇐ 热力学第一定律 ✞ ✝ ☎ 循环 ✆ 𝑑𝑄 = 𝑑𝑊 ⇒ 𝑑𝑇 𝑑𝑆 = 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑝, 𝑉) 𝑑𝑝𝑑𝑉 = 𝑑𝑝𝑑𝑉 ⇒ 𝜕(𝑇, 𝑆) 𝜕(𝑝, 𝑉) = 1