f(-)d l=f)d==d(udx-vdy)+ i(udy+vdx 应用格林公式: ∮pax+ay-∫」 ao a dxdy d(v) au --ldxdy+i ddv=0. 最后一步应用了C-R条件 ■格林公式成立的条件:除单连通之外,还要求Py,Qx连续。对应于复变函数积分,就要求 x,vy四个偏导数 连续,但我们仅已知复变函数函数解析,解析的充要条件是:f()连续和CR条件。解析并不保证四个偏导数连续 (即使a,v可微,也不保证四个偏导数连续,后者只是前者的充分条件。)因此,利用格林公式证明 Cauchy定理是 不严格的。更严格的证明可参见: Ahlfors, Complex Analysis,阿尔福斯《复分析》赵志勇等译Chap.4 (*把工作目录设置成文件所在的目录*) SetDirectory [NotebookDirectory[]] Import["fig02 01 complexanalysis jpg", ImageSize+ 100] 复分析 L.V. Ahlfors:哈佛数学教授。1936年获菲尔茨奖。1953年美国科学院院士。1981年获沃尔夫奖。 书中许多 "clearly, obviously, evidently, it is easy to see, it is not difficult to see, it is plain that, it is readily seen that"f They are not used to blur the picture On the contrary they test the reader,'s understanding, for if he does not agree that the omitted reasoning is clea obvious, and evident, he had better turn back a few pages and make a fresh start? 历史上,该定理最早是在∫()连续(也即四偏导数连续)条件下,应用格林公式证明,而后 pursat在不用此 条件的情况下加以证明,因此,此定理也被称为 Cauchy-Goursa定理 ■前曾经介绍过一个定理,若一个复变函数在某区域解析,则f(),f(-),…也都解析。但这实际上是 Cauchy定理的 推论,不可用于证明 Cauchy定理。 闭合回路积分为0的条件还可放宽为:D内解析 D=D+C内连续(即边界只需连续),仍有(d=0,其中回路可以是边界C 推论:单连通区域D内的解析函数的积分只与起点和终点有关,与路径无关 原函数和定积分公式 定理:若f()在单连通区域D内单值解析,积分与路径无关
f (z) z = 0 证明： I = f (z) z = (u x - v y) + (u y + v x), 应用格林公式 ： P x + Q y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y x y I = ∂ (-v) ∂ x - ∂ u ∂ y x y + ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y x y = 0， 最后一步应用了 C - R 条件 ◼ 格林公式成立的条件： 除单连通之外，还要求 Py, Qx 连续。对应于复变函数积分，就要求 ux, uy, vx, vy 四个偏导数 连续，但我们仅已知复变函数函数解析，解析的充要条件是： f (z) 连续和C-R条件。解析并不保证四个偏导数连续 （即使 u, v 可微，也不保证四个偏导数连续，后者只是前者的充分条件。）因此，利用格林公式证明Cauchy定理是 不严格的。更严格的证明可参见：Ahlfors, Complex Analysis, 阿尔福斯 《复分析》 赵志勇等译 Chap. 4。 (* 把工作目录设置成文件所在的目录 *) SetDirectory[NotebookDirectory[]]; Import["fig02.01 complexanalysis.jpg", ImageSize 100] L. V. Ahlfors：哈佛数学教授 。1936 年获菲尔茨奖 。1953 年美国科学院院士 。1981 年获沃尔夫奖 。 书中许多 “clearly, obviously , evidently , it is easy to see, it is not difficult to see, it is plain that, it is readily seen that” 等等。 “They are not used to blur the picture. On the contrary, they test the reader's understanding , for if he does not agree that the omitted reasoning is clear, obvious, and evident, he had better turn back a few pages and make a fresh start ?” ◼ 历史上，该定理最早是在 f ′(z) 连续（也即四偏导数连续）条件下，应用格林公式证明，而后Goursat在不用此 条件的情况下加以证明，因此，此定理也被称为Cauchy-Goursat定理。 ◼ 前曾经介绍过一个定理，若一个复变函数在某区域解析，则 f ′(z), f ′′(z), ... 也都解析。但这实际上是 Cauchy 定理的 推论，不可用于证明Cauchy定理。 ◼ 闭合回路积分为 0 的条件还可放宽为 ： D 内解析， D = D + C 内连续 （即边界只需连续 ），仍有 l f (z) z = 0，其中回路可以是边界 C。 ◼ 推论：单连通区域 D 内的解析函数的积分只与起点和终点有关，与路径无关。 原函数和定积分公式 定理：若 f (z) 在单连通区域 D 内单值解析 ，积分与路径无关 ， 6
那么|/()d=与路径无关,对于一个:值,就有确定的一个值Fe)与之对应,那么 F()=|f()d=是一个单值解析函数,F()=f()并且「f()d=F(=2)-F(-1) 证明:先证明解析,对〓∈D, △F=F+△)-F)=+4 feds= feds-Irsds= rs ds 因为f(-)可导,必连续,Vε>0,彐O(c),使得当-<δ时,U(=)-f()<ε, 导时△z→0,故可取1<6,那么在b上,U(=)-f()<E, fe)d-f)(无论△以何种方式→0,积分均可沿直线进行,因为与路径无关 ()-f(-) v(E-f()I ldET |△-=E F(=+△=)-F(=) 由于E可以任意小=P(=)=lin f(-) F(=)=f(=),故P()称为f(=)的原函数 类似于实变函数,下证f(=)的原函数之间只差一个常数 G()=F(-)=f(-),令G()-F()=h(),h(-)=G(=)-F()=0 =u+iv, h()= lx= lly =x=v= 0=h)=常数 G(=)-F()=c, G()=F()+c=f(E)dE+c Gco)=c G)-G(0)=G()-c=F()=f(dF=F()-P(z0),其中P(z0)=0 f(-)的所有原函数的集合称为f()的不定积分。 复连通的 Cauchy定理 定理:f()在闭复连通区域D内解析,则f(-)沿所有内外边界线正向积分和为0。 ∮ea+ f(-)d==0 证明:如下图作割线,变为单连通,如图绕行即可
那么 z0 z f (z) z 与路径无关 ，对于一个 z 值，就有确定的一个值 F(z) 与之对应 ，那么 F(z) = z0 z f (z) z 是一个单值解析函数 ，F′ (z) = f (z) 并且 z1 z2 f (z) z = F(z2) - F(z1) z0 l1 z z+Δz l2 l3 证明：先证明解析，对 z ∈ D, Δ F = F(z + Δ z) - F(z) = z0 z+Δ z f (ξ) ξ - z0 z f (ξ) ξ = l1+l3 f (ξ) ξ - l1 f (ξ) ξ = l3 f (ξ) ξ 因为 f (z) 可导，必连续， ∀ ε > 0， ∃ δ(ε)， 使得当 ξ - z < δ 时， f (z) - f (ξ) < ε， 求导时 Δ z 0， 故可取 Δ z < δ，那么在 l3 上， f (z) - f (ξ) < ε， F(z + Δ z) - F(z) Δ z - f (z) = 1 Δ z l3 f (ξ) ξ - f (z) （无论 Δz 以何种方式 0，积分均可沿直线进行 ，因为与路径无关 ） = 1 Δ z l3 [f (ξ) - f (z)] ξ ≤ 1 Δ z l3 f (ξ) - f (z) ξ ≤ 1 Δ z ε l3 ξ = ε Δ z Δ z = ε 由于 ε 可以任意小 ⟹ F′ (z) = lim Δ z0 F(z + Δ z) - F(z) Δ z = f (z) F′ (z) = f (z)，故 F(z) 称为 f (z) 的原函数 。 类似于实变函数 ，下证 f (z) 的原函数之间只差一个常数 。 G′ (z) = F′ (z) = f (z)，令 G(z) - F(z) = h(z) , h′ (z) = G′ (z) - F′ (z) = 0 h(z) = u + v , h′ (z) ⟹ ux = uy = vx = vy = 0 ⟹ h(z) = 常数。 G(z) - F(z) = c， G(z) = F(z) + c = z0 z f (ξ) ξ + c ⟹ G (z0) = c ⟹ G(z) - G(z0) = G(z) - c = F(z) = z0 z f (ξ) ξ = F(z) - F(z0), 其中 F(z0) = 0 f (z) 的所有原函数的集合称为 f (z)的不定积分。 复连通的Cauchy定理 定理： f (z) 在闭复连通区域 D内解析，则 f (z)沿所有内外边界线正向积分和为 0。 f (z) z = L0 f (z) z + k=1 n Lk f (z) z = 0 证明：如下图作割线，变为单连通，如图绕行即可。 7
推论:闭复连通区域D内的单值解析函数,沿外境线逆时针走向的积分等于沿所有内镜线逆时针走向积分和。 推论:在∫(=)的解析区域中,积分回路连续变形,积分值不变。 例题:求积分ln=(-ad,C为包围a点的任意一条闭合回路 n≥0时,被积函数是解析函数,ln=0; n<-1时,把C变形为圆心于a,半径为E的圆周 在C,:+”=cd0=44-h=ee"e In= ig+l e(+l)e de= n=-1时,把C变形为圆心于a,半径为E的圆周 eiee de=2i 合:h=d-apd=2rio-1, Kronecker符号 0ifi丰J 例题:求积分=JC(-aPd=,C为从b到b2的一条路径,如上右图 选取一解析区,如下右图黄色闭合回路围成的区域,在此解析区域里,积分可利用原函数概念 n+1
L0 L1 L2 推论： 闭复连通区域 D内的单值解析函数，沿外境线逆时针走向的积分等于沿所有内镜线逆时针走向积分和。 推论：在 f (z)的解析区域中，积分回路连续变形，积分值不变。 ☺ 例题：求积分 In = ∳ C (z - a)n z， C 为包围 a 点的任意一条闭合回路。 n ≥ 0 时，被积函数是解析函数， In = 0； n < -1 时，把 C 变形为圆心于 a，半径为 ε 的圆周 在 C，z = a + ε θ ⟹ z = ε θ θ ⟹ In = C (z - a)n z = 0 2 π εn n θ ε θ θ In = εn+1 0 2 π (n+1) θ θ = εn+1 n + 1 (n+1) θ 0 2 π = 0 n = -1 时，把 C 变形为圆心于 a，半径为 ε 的圆周 In = C z (z - a) = 0 2 π ε θ ε θ θ = 2 π 综合：In = C (z - a)n z = 2 π δn,-1, δi j = 1 if i = j 0 if i ≠ j —— Kronecker 符号 ☺ 例题：求积分 In = ∫ C (z - a)n z， C 为从 b1 到 b2 的一条路径，如上右图。 选取一解析区，如下右图黄色闭合回路围成的区域，在此解析区域里，积分可利用原函数概念。 n ≠ -1 时 In = b1 b2 (z - a)n z = (z - a) n+1 n + 1 b1 b2 = (b2 - a) n+1 - (b1 - a)n+1 n + 1 x L y y b a 1 b2 Δθ x y y b1 b2 C1 C2 n = -1 时 8