天津大学管理学院：《管理科学基础》课程PPT教学课件（运筹学）第十二章 二人有限非零和对策

而 XAr=[, 1-xl VI =[(a1-a2-a1+a2)-(a2-a2)x+a2+(a1-a2) a+a 则使XAY达到极大的x应满足 Ay1-A2<0 x={[0中任意值当4y-A2=0 (1) 当A1y1-A2>0

  * * 11 12 1 1 1 * 21 22 1 * * 11 12 21 22 1 22 12 1 22 21 22 1 1 1 ( ) ( ) ( ) T a a y X AY x x a a y a a a a y a a x a a a y                             而 1 11 12 21 22 2 22 12 A a a a a A a a       记 * * 1 * 1 1 2 * * 1 1 1 2 * 1 1 2 0, 0 [0,1] , 0 1, 0 T X AY x A y A x A y A A y A             则使 达到极大的 应满足 当 中任意值 当 当 （1）

y X"BY=「x;1-X」b21b2‖1-y =[(b1-b2-b1+b2)x-(b2-b2)]y1+b2+(h2-b2 记 B1=b1-b1,-b21+b 则使X”BY达到极大的y应满足 B,x1-B,<0 y={0中任意值当Bx一B2=0 (2) 当Bx1-B2>0

* * * 11 12 1 1 1 21 22 1 * * 11 12 21 22 1 22 21 1 22 12 22 1 b 1 b 1 ( ) ( ) ( ) T b y X BY x x b y b b b b x b b y b b b x                              1 11 12 21 22 2 22 21 B b b b b B b b       记 * * 1 * 1 1 2 * * 1 1 1 2 * 1 1 2 0, 0 [0,1] , 0 1, 0 T X BY y B x B y B x B B x B             则使 达到极大的 应满足 当 中任意值 当 当 （2）

根据式(1)和式(2),可在以x和y为横、纵轴的坐标系中确 定出对局中人I来说可能成为平衡局势的点(不妨称为I的解) (x1y1)的轨迹和对于局中人I来说可能成为平衡局势的点(不妨 称为I的解)x1y1)的轨迹。二轨迹的公共点即(x2y1),由此便 可得到平衡局势。将这一分析的结果各分为9种情形(即A1和A B和B2取各种符号时的9种条件),如下表所示:

1 1 * 1 1 * * * 1 1 1 1 1 2 1 2 (1) (2) x y ( ) (x ,y ) ( )(x ,y ) (x ,y ) 9 ( A A B B 9 ) 根据式 和式 ，可在以 和 为横、纵轴的坐标系中确 定出对局中人I来说可能成为平衡局势的点 不妨称为I的解 的轨迹和对于局中人II来说可能成为平衡局势的点 不妨 称为II的解 的轨迹。二轨迹的公共点即 ，由此便 可得到平衡局势。将这一分析的结果各分为 种情形 即 和 、 和 取各种符号时的 种条件 ，如下表所示：

条件序 解 图示 J A1=0 0≤x,≤1 A2=0 JI 0 A1=0 0 A,>0 0≤y1≤1 0 XI yI 0 < VI 0 J A1>0 x1=1,0<y1 A2=0 0≤x1≤,y1=0

1 x 1 y 1 10 1 x 1 y 1 10 1 x 1 y 1 10 1 x 1 y 1 10 1 0  x 1 1 0  y 11 0  y 1 1 x  01 0  y 1 1 x 1 1 0  x 1, 1 y  0 1 0  y 1 1 x 1, 1423 12 00 AA 12 00 AA 12 00 AA  12 00 AA 

x1 1y 1 1 0 x1 1y 1 1 0 x1 1y 1 1 0 x1 1y 1 1 0 1 0x 1, 2 1 1 0 A y A   1 0y 1 1x 1, 1 0y 1 1x 0, 6 9 7 8 1 2 0 0 A A   1 2 0 0 A A   1 2 0 0 A A   1 2 0 0 A A   5 1 2 0 0 A A   1y 0 1 0y 1 1x 0, 1x 0, 2 1 1A y A  1x 1, 2 1 1 1 A y A   2 1 1 0 A y A   1x 0, 2 1 1A y A  1x 1, 2 1 1 1 A y A   1 0x 1, x1 1y 1 1 0 2 1A A 2 1A A 1 0x 1