5.1节：矩阵序列与矩阵级数 定理5.1.3 在Cmxn中， 矩阵级数三A因绝对收敛的充要条件是∑A因川收敛，这 k=1 k=1 里‖.‖是任一矩阵范数. 证：若三A因绝对收敛，则存在一个与N,无关的正数M,使得 1<M,W≥1，i=12,m=1,2…,m N 从而 含IMla=之空2agD<mM N m n k=1i=1j=1 4口卡+8，+三·4至+2分QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日10176
5.1!: › SÜ› ?Í ½n5.1.3 3C m×n•ß› ?Í P∞ k=1 A (k)˝È¬Òøá^ᥠP∞ k=1 ||A (k) ||¬Òߢ p|| ||¥?ò› âÍ. y: e P∞ k=1 A (k)˝È¬ÒßK3òáÜN, i, jÃ'ÍM߶ P N k=1 |a (k) ij | < M, (N ≥ 1, i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n). l P N k=1 ||A (k) ||m1 = P N k=1 ( Pm i=1 Pn j=1 |a (k) ij |) < mnM. o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 10 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 所以工Am,收敛再由矩阵范数的等价性和正项级数的比较判别法 知宫H91收敛 反之，若≥A四收敛，则空4四收敛，于是由 1ag≤Alm(i=1,2,…,mj=1,2,…,川 知个数项级数宫号6=1,2，m=12,川都是笔对收敛因 而4因绝对收敛 k=1 4口卡+8,12·4色卡2分Q0 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日11176
5.1!: › SÜ› ?Í §± P∞ k=1 ||A (k) ||m1 ¬Ò.2d› âÍ d5⁄ë?Í'O{ P∞ k=1 ||A (k) ||¬Ò. áÉße P∞ k=1 ||A (k) ||¬ÒßK P∞ k=1 ||A (k) ||m1¬Òßu¥d |a (k) ij | ≤ ||A (k) ||m1 (i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n) mnáÍë?Í P∞ k=1 a (k) ij (i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n)—¥˝È¬Ò.œ P∞ k=1 A (k)˝È¬Ò. o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 11 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 定理5.1.4 设A∈Cmxm,幂级数 Ak收敛的充要条件是r(A)<1且 k= E-A'=言A 4口卡+8+三·4至+2分QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日12176
5.1!: › SÜ› ?Í ½n5.1.4 A ∈ C n×nßò?Í P∞ k=1 A k¬Òøá^á¥r(A) < 1Ö (E − A) −1 = P∞ k=1 A k . y: ø©5µœèr(A) < 1ߧ±E − Aå_. Sn = Pn k=1 A kßu ¥(E − A)Sn = E − A n+1˝È¬Òßœ Sn = (E − A) −1 − (E − A) −1 A n+1 . §±k lim n→∞ Sn = (E − A) −1 . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 12 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 定理5.14 9 设A∈Cxm,幂级数 Ak收敛的充要条件是r(A)<1且 k=1 (E-A)-1=2A 证：充分性：因为A<1,所以E-A可逆设=名代，于 是(E-A)Sn=E-A+1绝对收敛，因而 Sn=(E-A)-1-(E-A)A+1 所以有imSn=(E-A)-1 1-→00 4口卡+8+三·4至+2分QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日12/76
5.1!: › SÜ› ?Í ½n5.1.4 A ∈ C n×nßò?Í P∞ k=1 A k¬Òøá^á¥r(A) < 1Ö (E − A) −1 = P∞ k=1 A k . y: ø©5µœèr(A) < 1ߧ±E − Aå_. Sn = Pn k=1 A kßu ¥(E − A)Sn = E − A n+1˝È¬Òßœ Sn = (E − A) −1 − (E − A) −1 A n+1 . §±k lim n→∞ Sn = (E − A) −1 . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 12 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 必有性：因为幂级数了A收敛，所以数项级数 k三1 6+(A)列+(42)方+…+(A)+ 收敛.由数项级数收敛的必有条件知lim(4),=0, 即1imAk=0.故r(A)<1. k→00 4口卡+8+三·4至+2分QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日13/76
5.1!: › SÜ› ?Í 7k5µœèò?Í P∞ k=1 A k¬Òߧ±Íë?Í δij + (A) ij + (A 2 ) ij + · · · + (A k ) ij + · · · ¬Ò.dÍë?ͬÒ7k^á lim k→∞ (A k ) ij = 0ß = lim k→∞ A k = 0.r(A) < 1. o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 13 / 76