5.1节：矩阵序列与矩阵级数 定理5.1.5 设幂级数f(x)= 敏敛半轻为k则当价方陈A的洁半 径r(A)<R时， 幂级数三A绝对收敛：如果A>R,则幂级数究4 k=1 发散 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日14/76
5.1!: › SÜ› ?Í ½n5.1.5 ò?Íf(x) = P∞ k=0 ckx k¬ÒåªèRßKn ê AÃå ªr(A) < Rûßò?Í P∞ k=1 A k ˝È¬Ò¶XJr(A) > RßKò?Í P∞ k=1 A k u—. y: r(A) < Rûß¿Íεߘvr(A) + ε < R.u¥3ÉN› âÍ|| ||߶ ||A|| ≤ r(A) + ε l k ||ckA k || ≤ |ck|||A|| k ≤ |ck|(r(A) + ε) k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 14 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 定理5.1.5 设幂级数f(x)= 敏敛半轻为k则当价方陈A的洁半 径r(A)<R时， 幂级数三A绝对收敛：如果A)>R,则幂级数究A k=1 发散 证：当r(A)<R时，选取正数e,满足r(A)+E<R.于是存在相容的矩阵 范数.山，使得 IAl≤r(A)+e 从而有 IlcA‖≤Ic&lIlAl≤lc(r(A)+e) 4 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日14/76
5.1!: › SÜ› ?Í ½n5.1.5 ò?Íf(x) = P∞ k=0 ckx k¬ÒåªèRßKn ê AÃå ªr(A) < Rûßò?Í P∞ k=1 A k ˝È¬Ò¶XJr(A) > RßKò?Í P∞ k=1 A k u—. y: r(A) < Rûß¿Íεߘvr(A) + ε < R.u¥3ÉN› âÍ|| ||߶ ||A|| ≤ r(A) + ε l k ||ckA k || ≤ |ck|||A||k ≤ |ck|(r(A) + ε) k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 14 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 因为当r(A)+e<R时， 言a4r)+旷绝对收致.从而宫k,4收 敛故∑c4绝对收敛.当rA)>R时，矩阵A存在特征值>R.又存在 可逆矩阵P,使得 b12 bin 2 P-IAP= bin =B 入n 的对角元为宫Q=1,2,m.因为当以 =1 店c发散，所以亡c发散于是 k=I 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日15176
5.1!: › SÜ› ?Í œèr(A) + ε < Rûß P∞ k=1 ck(r(A) + ε) k˝È¬Ò,l P∞ k=1 ||ckA k ||¬ Ò. P∞ k=1 ckA k˝È¬Ò. r(A) > Rûß› A3Aä|λi | > R.q3 å_› P߶ P −1AP = λ1 b12 · · · b1n λ2 · · · b2n . . . . . . λn = B P∞ k=1 ckB kÈè P∞ k=1 ckλ k i (i = 1, 2, · · · , n).œè|λi | > Rûß P∞ k=1 ckλ k i u—ߧ± P∞ k=1 ckB ku—.u¥ o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 15 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 9 CkP-IBEP 也发散 4口卡+8，+三·4至卡2QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日16176
5.1!: › SÜ› ?Í P∞ k=1 ckA k = P∞ k=1 ckP −1B kP èu—. o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 16 / 76
5.2节：矩阵函数 定义5.2.1 设幂级数究止的收敛半径为R,当<R时，幂级数收敛于函 k=0 数f(x),即 f田=2a,H<R 如果n阶方阵的谱半径r4)<R,则称矩阵A的幂级数A的和为矩阵 k=1 函数，记为f(A),即 f4)= a4 k=0 4口卡+8，+三·4至+2分QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日17/76
5.2!: › ºÍ ½¬5.2.1 ò?ÍP∞ k=0 akx k ¬ÒåªèRß|x| < Rûßò?ͬÒuº Íf(x),= f(x) = P∞ k=0 akx k , |x| < R. XJn ê Ãåªr(A) < RßK°› Aò?Í P∞ k=1 A k⁄è› ºÍßPèf(A)ß= f(A) = P∞ k=0 akA k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 17 / 76